《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

1. [2025·新乡封丘县期末]如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E$,$F分别是边AB$,$AC$,$BC$上的点,且$DE// BC$,$EF// AB$,$\frac{AD}{BD}= \frac{3}{4}$.
(1)若$BC = 21$,求$BF$的长.
(2)若$\triangle ABC的面积为49$,求$\triangle CEF$的面积.

答案： 1.解:
(1)BF=9.
(2)S△CEF=16.

2. 新考向 尺规作图 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BD\perp AC于点D$.
(1)在$BC边上求作点E$,使$\triangle ACE\backsim\triangle BCD$；(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接$DE$,若$AB = 6$,$DE = 2$,求$CD$的长.

答案： 2.解:
(1)图略.
(2)CD=$\frac{4}{3}$.

3. 如图,在$\triangle ABC和\triangle CEF$中,$AB = BC$,$EF = CF$,$\angle ABC = \angle EFC = 90^{\circ}$,点$E在\triangle ABC$内,$\angle CAE + \angle CBE = 90^{\circ}$,连接$BF$.
(1)求证：$\triangle CAE\backsim\triangle CBF$；
(2)若$BE = 1$,$AE = 2$,求$CE$的长.

答案： 3.
(1)提示:利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明.
(2)解:CE=$\sqrt{6}$.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 2\angle B$,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,点$E在BA$的延长线上,连接$DE交AC于点G$,$\angle E = \angle C$,点$F在AC$上,且$DF// BE$.求证：
(1)$AD^{2} = AF\cdot AB$；
(2)$\frac{DE}{BE} = \frac{BD}{AB}$.

答案： 4.提示:
(1)证明△FAD∽△DAB.
(2)证明△CAD≌△EBD,△DBE∽△ABC.