《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

8. 已知关于$x的方程2x^{2}-kx + 1 = 0的一个根与方程\frac{2x + 1}{1 - x}= 4$的根相同.
(1)求$k$的值；
(2)用配方法求方程$2x^{2}-kx + 1 = 0$的另一个根.

答案： 解:
(1)$k=3$.
(2)方程的另一个根为1.

9. [教材P40习题T3变式题]如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 5\mathrm{cm}$,$BC = 7\mathrm{cm}$,点$P从点A开始沿AB边向点B以1\mathrm{cm/s}$的速度运动,点$Q从点B开始沿BC边向点C以2\mathrm{cm/s}$的速度运动.$P$,$Q$两点同时出发,当点$Q运动到点C$处时,$P$,$Q$两点同时停止运动. 设运动时间为$t\mathrm{s}$.
(1)用含$t$的代数式表示：$PB = $$(5-t)$$\mathrm{cm}$,$BQ = $$2t$$\mathrm{cm}$.
(2)当$t$为何值时,$PQ的长度等于2\sqrt{10}\mathrm{cm}$?
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解:(2)在$Rt\triangle BPQ$中,由勾股定理,得$PB^2+BQ^2=PQ^2$,即$(5-t)^2+(2t)^2=(2\sqrt{10})^2$,整理,得$t^2-2t-3=0$.解得$t_1=3$,$t_2=-1$(不合题意,舍去).答:当$t=3$时,$PQ$的长度等于$2\sqrt{10}\ cm$.

答案： 解:
(1)$(5-t)$ $2t$
(2)在$Rt\triangle BPQ$中,由勾股定理,得$PB^2+BQ^2=PQ^2$,即$(5-t)^2+(2t)^2=(2\sqrt{10})^2$,整理,得$t^2-2t-3=0$.解得$t_1=3$,$t_2=-1$(不合题意,舍去).答:当$t=3$时,$PQ$的长度等于$2\sqrt{10}\ cm$.

【例题】
将代数式 $ -x^2 + 4x + 1 $ 配方,得 $ -x^2 + 4x + 1 = $ $-(x-2)^{2}+5$。因为 $ -(x - 2)^2 $ ≤ $ 0 $,所以当 $ x = $ 2 时,$ -(x - 2)^2 $ 有最 大 值,为 0,故 $ -x^2 + 4x + 1 $ 有最 大 值,为 5。

答案： $-(x-2)^{2}+5$ ≤ 2 大 0 大 5

1. 当 $ x = $ 3时,代数式 $ \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{19}{4} $ 有最 小(填“大”或“小”)值,为 $\frac{1}{4}$。

答案： 3 小 $\frac{1}{4}$

2. 代数式 $ x^2 + y^2 - 10x + 8y + 45 $ 的最小值是 4。

答案： 4

3. 用配方法证明：无论 $ x $ 取何值,代数式 $ -2x^2 + 8x - 9 $ 的值总小于 $ 0 $。

答案： 证明:$-2x^{2}+8x-9=-2(x^{2}-4x)-9=-2(x^{2}-4x+4-4)-9=-2(x-2)^{2}-1.$因为$(x-2)^{2}≥0$,所以$-2(x-2)^{2}-1≤-1,$即代数式的最大值为-1.所以无论x取何值,代数式$-2x^{2}+8x-9$的值总小于0.