《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

12. 如图, $ \triangle ABC $ 为等边三角形, 点 $ D $, $ E $ 分别在边 $ BC $, $ AB $ 上, $ \angle ADE = 60° $. 若 $ BD = 4CD $, $ DE = 2.4 $, 则 $ AD $ 的长为(C)

A.1.8
B.2.4
C.3
D.3.2

答案： C

13. 如图, $ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形, 点 $ P $ 在 $ BA $ 的延长线上, 点 $ D $ 在 $ CB $ 的延长线上, 连接 $ CP $, $ DP $, 且 $ \angle CPD = 45° $, $ AP = 1 $, $ AB = 4 $, 则 $ BD = $$\frac{5\sqrt{2}}{4}$.

答案： $\frac{5\sqrt{2}}{4}$

14. [2025·洛阳伊川县期中]如图, 在矩形 $ ABCD $ 中, 点 $ E $, $ F $ 分别在 $ AD $, $ BC $ 上, 将四边形 $ ABFE $ 沿 $ EF $ 翻折, 使点 $ A $ 的对称点 $ P $ 落在 $ CD $ 上, 点 $ B $ 的对称点为 $ G $, $ PG $ 交 $ BC $ 于点 $ H $.
(1)求证: $ \triangle EDP \backsim \triangle PCH $.
(2)若 $ P $ 为 $ CD $ 的中点, 且 $ AB = 6 $, $ BC = 9 $, 求 $ GH $ 的长.
]

答案：
(1)提示:利用两角分别相等的两个三角形相似进行证明.
(2)解:$GH=\frac{9}{4}$.

15. 如图, 点 $ E $, $ F $, $ G $ 分别在正方形 $ ABCD $ 的边 $ AB $, $ BC $, $ AD $ 上, $ AF \perp EG $. 若 $ AB = 6 $, $ AE = DG = 1 $, 则 $ BF = $$\frac{6}{5}$.

答案： $\frac{6}{5}$

16. (1)如图①, 在矩形 $ ABCD $ 中, $ AD = 7 $, $ CD = 4 $, 且 $ CE \perp BD $, 则 $ \frac{DE}{AB} $ 的值为$\frac{4}{7}$;
(2)如图②, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle A = \angle B = 90° $, $ E $ 为 $ AB $ 上一点, 连接 $ DE $, 过点 $ C $ 作 $ DE $ 的垂线交 $ ED $ 的延长线于点 $ G $, 交 $ AD $ 的延长线于点 $ F $, 求证: $ DE \cdot AB = CF \cdot AD $.
]

(2)提示:过点 C 作 CH⊥AF 的延长线于点 H,证明△ADE∽△HCF.

答案：
(1)$\frac{4}{7}$
(2)提示:过点 C 作 CH⊥AF 的延长线于点 H,证明△ADE∽△HCF.