《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

8. 新考向 情境题·制作零件 王师傅应客户要求制作零件,需要保证交付的零件均为菱形,根据以下零件的测量结果,不一定合格的是(C)

答案： C

9. 如图,在四边形$ABCD$中,点$E$,$F$,$G$,$H分别是AB$,$CD$,$AC$,$BD$的中点,添加下列条件,可以判定四边形$EHFG$为菱形的是(C)

A.$AC = BD$
B.$AB// CD$
C.$AD = BC$
D.$AC\perp BD$

答案： C

10. [易错题][2024·北京西城区期末]如图,在平面直角坐标系中,点$A(3,2\sqrt{2})$,$AB\perp y轴于点B$.以$AB为边作菱形ABCD$,若点$C在x$轴上,则点$D$的坐标为(2,0)或(4,0).

答案： (2,0)或(4,0)

11. [2024·浙江模拟]如图,四边形$ABCD$是平行四边形,$O是对角线AC$的中点,过点$O的直线分别交边BC$,$AD于点E$,$F$,连接$AE$,$CF$.
(1)求证：$BE = DF$；
(2)作$\angle AEB的平分线交AB于点G$,若$EG// AC$,求证：四边形$AECF$是菱形.

答案： 提示:
(1)证明△AOF≌△COE.
(2)利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明.

12. 新考向 类比探究 如图,$\triangle ABC$为等腰三角形,$AB = AC = 6$,$P是底边BC$上的一个动点,$PD// AC交AB于点D$,$PE// AB交AC于点E$.
(1)【问题解决】四边形$ADPE$的周长是12.
(2)【拓展设问】当点$P$运动到什么位置时,四边形$ADPE$是菱形？请说明理由.
当点 P 运动到 BC 的中点处时,四边形 ADPE 是菱形.理由如下:
∵PD//AC,PE//AB,
∴四边形 ADPE 是平行四边形,∠DPB=∠C,∠B=∠EPC.
∵P 是 BC 的中点,
∴BP=PC,
∴△DBP≌△EPC(ASA),
∴DP=EC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠EPC=∠C,
∴EC=EP,
∴DP=EP,
∴□ADPE 是菱形.
(3)【变式探究】若$\triangle ABC$不是等腰三角形,其他条件不变,当点$P$运动到什么位置时,四边形$ADPE$是菱形？(不必说明理由)
当点 P 运动到∠BAC 的平分线上时,四边形 ADPE 是菱形.

答案：
(1)12
(2)当点 P 运动到 BC 的中点处时,四边形 ADPE 是菱形.理由如下:
∵PD//AC,PE//AB,
∴四边形 ADPE 是平行四边形,∠DPB=∠C,∠B=∠EPC.
∵P 是 BC 的中点,
∴BP=PC,
∴△DBP≌△EPC(ASA),
∴DP=EC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠EPC=∠C,
∴EC=EP,
∴DP=EP,
∴□ADPE 是菱形.
(3)当点 P 运动到∠BAC 的平分线上时,四边形 ADPE 是菱形.