《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

3. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,点 $E$,$F$ 分别在边 $BC$,$CD$ 上,且 $\angle EAF = 45^{\circ}$,连接 $EF$。
(1)求证：$EF = BE + DF$；
(2)若 $BE = 3$,$CF = 4$,求正方形 $ABCD$ 的边长。

答案： 3.
(1)提示:延长EB至点H,使BH=DF，连接AH.先证△ADF≌△ABH,再证△FAE≌△HAE.
(2)解:正方形ABCD的边长为6.

4. 新考向 类比探究 如图①,四边形 $ABCD$ 是正方形,$E$ 是边 $BC$ 上任意一点,$\angle AEF = 90^{\circ}$,且 $EF$ 交正方形 $ABCD$ 的外角 $\angle DCH$ 的平分线于点 $F$。
(1)为了证明结论“$AE = EF$”,小星在 $AB$ 上截取 $AG = EC$,连接 $EG$ 后解答了这个问题,请按小星的思路写出证明过程；
(2)如图②,若点 $E$ 在边 $BC$ 的延长线上,其他条件不变,试探究 $AE$ 与 $EF$ 之间的数量关系,并说明理由。

答案： 4.解:
(1)略.
(2)AE=EF.理由如下:如图②,延长BA至点G,使AG=CE,连接EG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°,
∴∠DCH=∠DAG=90°.
∵CF平分∠DCH,
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠DCH=45°.
∵AG=CE,
∴AG+AB=CE+BC,即BG=BE,
∴∠AGE=45°,
∴∠AGE=∠ECF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD//BE,
∴∠DAE=∠AEB.又
∵∠DAG=∠AEF=90°,
∴∠DAG+∠DAE=∠AEF+∠AEB,即∠GAE=∠CEF.
∴△AGE≌△ECF(ASA).
∴AE=EF.