《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

9. 新考向 情境题·梯子 如图,小西家的梯子由等距离的六条平行横梁(踏板)组成,下宽上窄,其中点$A$,$B$,$C$,$D$均在横梁的端点处。若$AB= 62$cm,则$AD$的长为155cm。

答案： 155

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E$,$F分别是边AB$,$AC$,$BC$上的点,且$DE// BC$,$EF// AB$。若$\frac{BF}{CF}= \frac{2}{3}$,$AB= 15$,则$BD$的长为______。

9

答案： 9

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$EF// CD$,$DE// BC$。
(1)求证：$AF:DF= AD:BD$；
(2)若$AB= 15$,$AD:BD= 2:1$,求$DF$的长。
]

答案：
(1)证明:
∵EF//CD,
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{CE}$.
∵DE//BC,
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$.
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{AD}{BD}$,即$AF:DF=AD:BD$.
(2)解:$DF=\frac{10}{3}$.

12. 新考向 过程性学习·续写证明 请阅读下列材料,并解决相应的问题。
角平分线分线段成比例定理：如图①,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,则$\frac{AB}{AC}= \frac{BD}{CD}$。
下面是这个定理的部分证明过程。
证明：如图②,过点$C作CE// AD$,交$BA的延长线于点E$……
(1)请补全上述证明过程；
(2)$9+3\sqrt{5}$如图③,在$Rt\triangle ABC$中,$AB= 6$,$AC= 10$,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$,则$\triangle ABD$的周长为______。
]

答案：
(1)补全证明过程如下:
∴$\frac{BA}{AE}=\frac{BD}{DC}$,$∠2=∠ACE$,$∠1=∠E$.
∵AD 平分$∠BAC$,
∴$∠1=∠2$.
∴$∠ACE=∠E$.
∴$AE=AC$.
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2)$9+3\sqrt{5}$

1. 如图,AD 是△ABC 的中线,E 为 AD 的中点,射线 CE 交 AB 于点 F,则 $\frac{AF}{BF}$ 的值为$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$

2. 如图,在△ABC 中,M 为 AC 边的中点,E 为 AB 上一点,且 $AB = 4AE$,连接 EM 并延长交 BC 的延长线于点 D,则 $CD:BC= $1:2。

答案： 1:2