《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$AO = CO$,$BO = DO$,且 $\angle AOB = 2\angle OAD$。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是矩形；
(2) 若 $\angle AOB:\angle ODC = 4:3$,求 $\angle ADO$ 的度数。

答案：
(1)提示:利用对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.
(2)解:∠ADO=36°.

2. 如图,已知四边形 $ABCD$ 是正方形,连接 $AC$,$E$ 是 $BC$ 边上一点,连接 $AE$,$DE$,其中 $DE$ 交 $AC$ 于点 $F$,连接 $BF$。
(1) 求证：$\angle CBF = \angle CDF$；
(2) 当 $E$ 是 $BC$ 的中点时,请判断 $BF$ 与 $AE$ 的位置关系,并证明你的判断。

答案：
(1)提示:证明△CBF≌△CDF.
(2)解:BF⊥AE.证明略.

3. 如图,在 $□ ABCD$ 中,点 $E$,$F$ 分别在边 $BC$,$AD$ 上,$AC$ 与 $EF$ 相交于点 $O$,且 $EF$ 垂直平分 $AC$,连接 $AE$,$CF$。
(1) 求证：四边形 $AECF$ 是菱形；
(2) 若 $AC\perp AB$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AE = 12$,求四边形 $AECF$ 的面积。

答案：
(1)提示:利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明.
(2)解:四边形AECF的面积为72√3.

4. 如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$E$ 是 $AD$ 的中点,点 $F$,$G$ 在 $AB$ 上,$EF\perp AB$,$OG// EF$。
(1) 求证：四边形 $OEFG$ 是矩形；
(2) 若 $AD = 12$,$EF = 4\sqrt{2}$,求 $OE$ 和 $BG$ 的长。

答案：
(1)提示:利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明.
(2)解:OE=6,BG=4.