《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

9. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,过点 $B$ 作 $BE\perp CD$ 于点 $E$,点 $F$ 在边 $AB$ 上,$AF = CE$,连接 $BD$,$DF$。
(1)求证：四边形 $BFDE$ 是矩形；
(2)若 $BD = 2\sqrt{5}$,$BE = 4$,则 $BC$ 的长为5。
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(1)证明：因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB=CD$，$AB// CD$。因为$AF=CE$，所以$AB - AF=CD - CE$，即$BF=DE$。又因为$BF// DE$，所以四边形$BFDE$是平行四边形。因为$BE\perp CD$，所以$\angle BED=90^{\circ}$，所以平行四边形$BFDE$是矩形。

答案：
(1)提示:利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明.
(2)5

10. [2025·郑州期中]如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$ 于点 $D$,$\angle BCD = 20^{\circ}$,$E$ 是斜边 $AB$ 的中点,则 $\angle DCE$ 的度数为(B)

A.$30^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
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答案： B

11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC = 8$,$BC = 6$,$AE$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$,$D$ 为 $AB$ 的中点,连接 $DE$,则 $\triangle BDE$ 的周长是11。
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答案： 11

12. 新考向 开放性问题 如图,$□ ABCD$ 的对角线互相垂直,要使 $□ ABCD$ 成为正方形,还需添加的一个条件是∠ABC=90°(答案不唯一)。(写一个即可)
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答案： ∠ABC=90°(答案不唯一)

13. 如图,正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 是菱形 $AEFC$ 的一边,连接 $AF$ 交 $BC$ 于点 $O$,则 $\angle AOB$ 的度数为67.5°。
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答案： 67.5°

14. 如图,在边长为 $2$ 的正方形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是边 $AB$,$BC$ 上的动点(可与端点重合),连接 $DE$,$EF$,$M$,$N$ 分别是 $DE$,$EF$ 的中点,则 $MN$ 的最大值为√2。
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答案： √2

15. 新考向 类比探究 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 45^{\circ}$,$D$ 为线段 $BC$ 上一动点(点 $D$ 不与点 $B$,$C$ 重合),连接 $AD$,以 $AD$ 为一边在 $AD$ 的右侧作正方形 $ADEF$,连接 $CF$。
(1)【特例探究】如图①,如果 $AB = AC$,试判断线段 $CF$ 与 $BD$ 之间的位置关系,并证明你的结论。
(2)【一般探究】如图②,如果 $AB＞AC$,那么(1)中结论是否仍成立？为什么？
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答案： 解:
(1)CF⊥BD.证明略.
(2)CF⊥BD的结论仍成立.理由略.