《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,添加下列一个条件,能使矩形 $ABCD$ 成为正方形的是(B)

A.$BD = AC$
B.$CD = AD$
C.$\angle AOB = 60^{\circ}$
D.$OD = CD$

答案： B

2. 下列说法正确的是(C)

A.对角线相等的四边形是矩形
B.有一个角是直角的平行四边形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.各边都相等的四边形是正方形

答案： C

3. 已知菱形 $ABCD$,下列条件中,不能判定这个菱形为正方形的是(B)
A.$\angle A = \angle B$
B.$\angle A = \angle C$
C.$AC = BD$
D.$AB \perp BC$

答案： B

4. 新考向 尺规作图 如图,已知 $AC = \sqrt{2} cm$,小红作了如下操作：分别以点 $A$,$C$ 为圆心,$1 cm$ 的长为半径作弧,两弧分别相交于点 $B$,$D$,依次连接 $AB$,$BC$,$CD$,$DA$,判断四边形 $ABCD$ 是正方形的依据是(C)

A.有一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.有一个角是直角的菱形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形

答案： C

5. 新考向 开放性问题 [2024·黑龙江龙东地区中考]如图,在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,请添加一个条件：∠ABC=90°(答案不唯一),使得菱形 $ABCD$ 成为正方形。

答案： ∠ABC=90°(答案不唯一)

6. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD$ 平分 $\angle ACB$,交 $AB$ 于点 $D$,过点 $D$ 分别作 $AC$,$BC$ 的平行线 $DE$,$DF$,分别与 $BC$,$AC$ 交于点 $E$,$F$。求证：四边形 $DECF$ 是正方形。
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答案： 提示:利用有一组邻边相等的矩形是正方形进行证明.

7. 如图,四边形 $ABCD$ 的对角线互相平分,$\angle OAB = 45^{\circ}$,$AC \perp BD$。求证：四边形 $ABCD$ 是正方形。
]

答案： 提示:利用对角线相等的菱形是正方形进行证明.

8. 从下列四个条件：① $\angle ABC = 90^{\circ}$,② $AB = BC$,③ $AC = BD$,④ $AC \perp BD$ 中选择两个作为补充条件,使 $□ ABCD$ 成为正方形,下列四种情况中你认为错误的是(B)
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④

答案： B