《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

1. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $8$,点 $M$ 在边 $CD$ 上,且 $DM = 2$,$N$ 是对角线 $AC$ 上一动点,则 $DN + MN$ 的最小值为(D)
A.$8$
B.$8\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{17}$
D.$10$

答案： D

2. [2024·驻马店正阳县期末]如图,四边形 $ABCD$ 是菱形,$BD = 6$,$AD = 5$,$E$ 是 $CD$ 边上的一个动点,过点 $E$ 分别作 $EF \perp OC$ 于点 $F$,$EG \perp OD$ 于点 $G$,连接 $FG$,则 $FG$ 的最小值为$\frac{12}{5}$。

答案： $\frac{12}{5}$

3. 如图,$\angle MON = 90^{\circ}$,矩形 $ABCD$ 的顶点 $A$,$B$ 分别在边 $OM$,$ON$ 上,当点 $B$ 在边 $ON$ 上运动时,点 $A$ 随之在 $OM$ 上运动,矩形 $ABCD$ 的形状保持不变,其中 $AB = 6$,$BC = 2$。运动过程中,点 $D$ 到点 $O$ 的最大距离是$3+\sqrt{13}$。

答案： $3+\sqrt{13}$

4. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 4$,$BC = 2$,$G$是 $AD$ 的中点,线段 $EF$ 在边 $AB$ 上左右滑动。若 $EF = 1$,则 $GE + CF$ 的最小值为$3\sqrt{2}$。

答案： $3\sqrt{2}$

5. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$P$ 是对角线 $AC$ 上一动点,过点 $P$ 分别作 $PE \perp BC$ 于点 $E$,$PF \perp AB$ 于点 $F$。若菱形 $ABCD$ 的周长为 $20$,面积为 $24$,则 $PE + PF$ 的值为$\frac{24}{5}$。

答案： $\frac{24}{5}$

6. 如图,已知四边形 $ABCD$ 为正方形,$AB = 2\sqrt{2}$,$E$ 为对角线 $AC$ 上的一个动点,连接 $DE$,过点 $E$ 作 $EF \perp DE$,交边 $BC$ 于点 $F$,以 $DE$,$EF$ 为邻边作矩形 $DEFG$,连接 $CG$。
(1) 求证：四边形 $DEFG$ 是正方形。
(2) 探究：$CE + CG$ 的值是否为定值？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由。

答案：

(1)提示:如图,过点 E 分别作$EM\perp BC$于点 M,$EN\perp CD$于点 N,证明$\triangle EMF\cong\triangle END$.

(2)解:$CE+CG$的值是定值,为 4.
【提示】证明$\triangle ADE\cong\triangle CDG$.