《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

串题 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+2k= (k + 2)x $。
(1)①化成一般形式后,一次项系数为 $-8$,则 $ k = $6；
②在①的条件下,若 $ m,n $ 是该一元二次方程的两个根,则代数式 $ m^{2}-9m - n $ 的值为-20；
③在①的条件下,请用配方法解一元二次方程。
解:$x_{1}=6,x_{2}=2.$
(2)[一题多解]当方程的一个根为 $ 3 $ 时,求 $ k $ 的值及方程的另一个根。
解法一:设方程的另一个根为m.
由根与系数的关系,得$3+m=k+2,3m=2k.$
因此,有$k=3,m=2$.所以k的值为3,方程的另一个根为2.
解法二:把$x=3$代入原方程,得$9+2k=3(k+2).$
解这个方程,得$k=3.$
则原方程可变形为$x^{2}-5x+6=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=3.$
所以k的值为3,方程的另一个根为2.
(3)求证：无论 $ k $ 取任何实数,方程总有实数根。
证明:因为$\Delta=[-(k+2)]^{2}-4×1×2k=k^{2}-4k+4=(k-2)^{2}\geq0,$
所以无论k取任何实数,方程总有实数根.
(4)若 $ a,b $ 分别是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(k + 2)x + 2k = 0 $ 的两个根,且 $ a,b,5 $ 分别是等腰三角形的三边长,求等腰三角形的周长。
解:等腰三角形的周长为12.

答案：
(1)①6 ②-20 ③解:$x_{1}=6,x_{2}=2.$
(2)解法一:设方程的另一个根为m.
由根与系数的关系,得$3+m=k+2,3m=2k.$
因此,有$k=3,m=2$.所以k的值为3,方程的另一个根为2.
解法二:把$x=3$代入原方程,得$9+2k=3(k+2).$
解这个方程,得$k=3.$
则原方程可变形为$x^{2}-5x+6=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=3.$
所以k的值为3,方程的另一个根为2.
(3)证明:因为$\Delta=[-(k+2)]^{2}-4×1×2k=k^{2}-4k+4=(k-2)^{2}\geq0,$
所以无论k取任何实数,方程总有实数根.
(4)解:等腰三角形的周长为12.