《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

1. 如图,要使$□ ABCD$成为菱形,则需添加的一个条件可以是(B)

A.$AC = AD$
B.$BA = BC$
C.$\angle ABC = 90^{\circ}$
D.$AC = BD$

答案： B

2. 如图,在$□ ABCD$中,$BD平分\angle ABC$.求证：四边形$ABCD$是菱形.

答案： 由已知，四边形$ABCD$是平行四边形，
根据平行四边形性质得：$AD// BC$。
根据两直线平行，内错角相等，
所以$\angle ADB = \angle CBD$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle ABD = \angle CBD$。
所以$\angle ABD = \angle ADB$。
根据等角对等边，
所以$AB = AD$。
一组邻边相等的平行四边形是菱形，
所以四边形$ABCD$是菱形。

3. 新考向 开放性问题 [2024·西藏中考]如图,在四边形$ABCD$中,$AD = BC$,$AB = CD$,$AC与BD相交于点O$,请添加一个条件：AC⊥BD(答案不唯一),使四边形$ABCD$是菱形.

答案： AC⊥BD(答案不唯一)

4. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$OA = 3$,$BD = 8$,$AB = 5$.
(1)$\triangle AOB$是直角三角形吗？请说明理由.
(2)求证：四边形$ABCD$是菱形.

答案：
(1)解:△AOB 是直角三角形.理由略.
(2)略.

5. 如图,$\triangle ABC$是等腰三角形,把它沿底边$BC$翻折后,得到$\triangle DBC$,则四边形$ABDC$为菱形,理由是四边相等的四边形是菱形.

答案： 菱 四边相等的四边形是菱形

6. 如图,$AC = 8$,分别以点$A$,$C$为圆心,$5$为半径作弧,两条弧分别相交于点$B$,$D$,顺次连接点$A$,$B$,$C$,$D$,连接$BD交AC于点O$.
(1)判断四边形$ABCD$的形状,并说明理由.
(2)求$BD$的长.

答案：
(1)四边形 ABCD 为菱形.理由略.
(2)BD 的长为 6.

7. 下列命题：
①四边相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
其中正确的是①③⑤.(填序号)

答案： ①③⑤