《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

10. [2025·成都成华区期末]如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,$AD = 4$,$P$ 是对角线 $BD$ 上一动点,过点 $P$ 分别作 $BC$,$CD$ 的垂线,垂足分别为 $E$,$F$,连接 $EF$,则 $EF$ 的最小值为$\frac{12}{5}$。

答案： $\frac{12}{5}$

11. [2025·本溪月考]如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,过点 $D$ 作 $DE// AC$,且 $DE= \frac{1}{2}AC$,连接 $AE$,$CE$。
(1) 求证：四边形 $OCED$ 是矩形；
(2) 若菱形 $ABCD$ 的边长为 $4$,$\angle BCD = 60^{\circ}$,求 $AE$ 的长。

答案：
(1)提示:利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明.
(2)解:
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴BC=CD=4,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,AC⊥BD.
∵∠BCD=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴BD=BC=4,
∴OD=OB=2.在Rt△COD中,OC=$\sqrt{CD^{2}-OD^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-2^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∴AC=2OC=4$\sqrt{3}$.由
(1)知四边形 OCED 为矩形,
∴CE=OD=2,∠OCE=90°.在Rt△ACE中,AE=$\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+2^{2}}$=2$\sqrt{13}$.

12. 新考向 数学文化·出入相补 我国古代数学家贾宪提出了“从矩形的对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所得两矩形的面积相等(如图①)”。
(1)【结论探究】根据图①完成上面结论的证明过程。
证明：由题意,得 $S_{\triangle ADC}= S_{\triangle}$ABC,$S_{\triangle ANF}= S_{\triangle}$AEF,$S_{\triangle FGC}= S_{\triangle}$FMC。
$\because S_{矩形NFGD}= S_{\triangle ADC}-(S_{\triangle}$ANF$+S_{\triangle}$FGC$)$,
$S_{矩形EBMF}= S_{\triangle ABC}-(S_{\triangle}$AEF$+S_{\triangle}$FMC$)$,
$\therefore S_{矩形NFGD}= S_{矩形EBMF}$。
(2)【拓展应用】如图②,$P$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上一点,过点 $P$ 作 $EF// BC$ 分别交 $AB$,$CD$ 于点 $E$,$F$,连接 $PA$,$PC$。若 $PE = 5$,$DF = 4$,求图中阴影部分的面积。


阴影部分的面积为 20.

答案：
(1)ABC AEF FMC ANF FGC AEF FMC
(2)阴影部分的面积为 20.

1. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$AE$ 平分 $\angle BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$,连接 $OE$,则 $\angle BOE$ 的度数是75°.

答案： 75°

2. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$\angle A = 60^{\circ}$,$AB = 4$,$E$,$F$ 分别为 $AD$,$CD$ 上的动点,$\angle EBF = 60^{\circ}$,点 $E$ 从点 $A$ 向点 $D$ 运动的过程中,$AE + CF$ 的长度恒为______.

4

答案： 4