《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册北师大版》

11. [2025·长春期末]菱形$OABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示,$\angle AOC = 45^{\circ}$,$OC = \sqrt{2}$,则点$B$的坐标为(C)

A.$(\sqrt{2},1)$
B.$(1,\sqrt{2})$
C.$(\sqrt{2} + 1,1)$
D.$(1,\sqrt{2} + 1)$

答案： C

12. 新考向 传统文化·开封汴绣汴绣也称“宋绣”,是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术,汴绣中的传统纹样菱形锦纹,尤其具有代表性。如图①是菱形锦纹的一部分,如图②是抽离出来的菱形$ABCD$,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$\angle ABC = 80^{\circ}$,$E是线段AO$上一点,且$BC = CE$,则$\angle OBE$的度数是25°。

答案： 25°

13. 如图,菱形$ABCD的边长为2$,$\angle ABC = 45^{\circ}$,$P$,$Q分别是BC$,$BD$上的动点,则$CQ + PQ$的最小值为$\sqrt{2}$。

答案： $\sqrt{2}$

14. 如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,过点$D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E$。
(1)证明：四边形$ACDE$是平行四边形；

(2)若$AC = 24$,$BD = 10$,求$\triangle ADE$的周长。

答案：
(1)提示:利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明.
(2)解:△ADE的周长为50.

15. 新考向 类比探究在菱形$ABCD$中,$\angle B = 60^{\circ}$,点$E在BC$边上,点$F在CD$边上,连接$AE$,$AF$,$EF$。
(1)如图①,若$E是BC$的中点,$\angle AEF = 60^{\circ}$,求证：$BE = DF$；
(2)如图②,若$\angle EAF = 60^{\circ}$,则$\triangle AEF$是什么特殊的三角形？并证明。

答案：
(1)提示:证明CE=CF.
(2)解:△AEF是等边三角形.证明略.