《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册鲁教版五四制》

13. 已知多项式$5x^{m} + (k - 1) \cdot x^{2} - (2n + 4)x - 3是关于x$的三次三项式,并且二次项系数为$1$,求$m - k + n$的值.

答案： 【解】因为多项式$5x^{m}+(k-1)x^{2}-(2n+4)x-3$是关于$x$的三次三项式,并且二次项系数为1,所以$m=3$,$k-1=1$,$-(2n+4)=0$,所以$k=2$,$n=-2$.所以$m-k+n=3-2+(-2)=-1$.

14. 已知$A = x^{3} - 2y^{3} + 3x^{2}y + xy^{2} - 3xy + 4$,$B = y^{3} - x^{3} - 4x^{2}y - 3xy - 3xy^{2} + 3$,$C = y^{3} + x^{2}y + 2xy^{2} + 6xy - 6$,试说明无论$x$,$y$取何值,$A + B + C$的值都是常数.

答案： 【解】因为$A+B+C=x^{3}-2y^{3}+3x^{2}y+xy^{2}-3xy+4+y^{3}-x^{3}-4x^{2}y-3xy-3xy^{2}+3+y^{3}+x^{2}y+2xy^{2}+6xy-6=1$,所以无论$x$,$y$取任何值,$A+B+C$的值都是常数.

15. 如图所示的是广告公司设计的商标图案,若每个小长方形的长为$x$,宽为$y$,求阴影部分的面积,并指出得到的整式的系数和次数.

答案： 【解】因为大长方形的面积为$16xy$,非阴影部分的面积为$2xy+\frac{9}{2}xy+\frac{9}{2}xy=11xy$,所以阴影部分的面积为$16xy-11xy=5xy$,该整式的系数为5,次数为2.

16. (1) 将$(m + 2n)$,$(m - n)$分别看作一个整体,把代数式$\frac{1}{4}(m + 2n)^{2} - 5(m - n) - \frac{1}{2}(m + 2n)^{2} + 3(m - n)$中的同类项合并,并求当$m + 2n = -3$,$m - n = -\frac{1}{2}$时,此代数式的值；
(2) 已知$y - x = 3$,求$3(x - y)^{2} - \frac{1}{2}(x - y) + \frac{3}{4}(x - y) - 2(x - y)^{2} + \frac{3}{2}(x - y) + 5$的值.

答案：
(1)原式$=(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})(m+2n)^{2}+(-5+3)\cdot(m-n)=-\frac{1}{4}(m+2n)^{2}-2(m-n)$,当$m+2n=-3$,$m-n=-\frac{1}{2}$时,原式$=-\frac{1}{4}×9-2×(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}$.
(2)原式$=(x-y)^{2}+\frac{7}{4}(x-y)+5$.因为$y-x=3$,所以$x-y=-3$,所以原式$=(-3)^{2}+\frac{7}{4}×(-3)+5=9-\frac{21}{4}+5=\frac{35}{4}$.

17. 一个三位数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字,则称这个三位数为“欢喜数”,如$572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7$,所以$572$是“欢喜数”.解答下列问题：
(1) 最小的“欢喜数”是110,最大的“欢喜数”是990；
(2) 若某“欢喜数”的百位数字为$a$,十位数字为$b$,试说明这个“欢喜数”是$11$的倍数；
由题意可知该“欢喜数”是$100a+10b+b-a=99a+11b=11(9a+b)$.所以易知这个“欢喜数”是11的倍数.
(3) 若“欢喜数”$m$为奇数,且十位数字比个位数字大$6$,请直接写出所有符合条件的“欢喜数”$m$.
$m$为671或693.

答案：
(1)110;990
(2)由题意可知该“欢喜数”是$100a+10b+b-a=99a+11b=11(9a+b)$.所以易知这个“欢喜数”是11的倍数.
(3)$m$为671或693.