《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册鲁教版五四制》

12. 如果关于 $x$ 的代数式 $3x^{4} - 2x^{3} + 5x^{2} + kx^{3} + mx^{2} + 4x + 5 - 7x$ 合并同类项后不含 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 项,求 $m^{k}$ 的值。

答案： 【解】$3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}+kx^{3}+mx^{2}+4x+5-7x=3x^{4}+(k-2)x^{3}+(m+5)x^{2}+(4-7)x+5=3x^{4}+(k-2)x^{3}+(m+5)x^{2}-3x+5$.
因为合并同类项后不含$x^{3}$和$x^{2}$项，
所以k-2=0，m+5=0，
解得k=2，m=-5.
所以$m^{k}=(-5)^{2}=25$.

13. 如果 $2mx^{a}y$ 与 $-5nx^{2a - 3}y$(其中 $m ≠ 0$,$n ≠ 0$)是关于 $x$,$y$ 的单项式,且它们是同类项。
(1) 求 $(7a - 22)^{2026}$ 的值；
(2) 若 $2mx^{a}y + 5nx^{2a - 3}y = 0$,求 $(2m + 5n)^{2027}$ 的值。

答案： 【解】
(1)因为$2mx^{a}y$与$-5nx^{2a-3}y$(其中m≠0，n≠0)是关于x，y的单项式，且它们是同类项，所以a=2a-3，解得a=3，
所以$(7a-22)^{2026}=(7×3-22)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
(2)因为$2mx^{a}y+5nx^{2a-3}y=0$，
所以2m+5n=0，
所以$(2m+5n)^{2027}=0^{2027}=0$.

14. 我们知道：$4x + 2x - x = (4 + 2 - 1)x = 5x$,类似地,若我们把 $(a + b)$ 看成一个整体,则有 $4(a + b) + 2(a + b) - (a + b) = (4 + 2 - 1)·(a + b) = 5(a + b)$。这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”。“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,其应用极为广泛。
请运用“整体思想”解答下面的问题：
(1) $3(a - b)^{2} - 7(a - b)^{2} + 2(a - b)^{2}$；
(2) $-5(x + 2y - z)^{3} + \frac{1}{2}(x + 2y - z)^{3} - 3(x + 2y - z)^{3}$。

答案： 【解】
(1)原式$=(3-7+2)(a-b)^{2}=-2(a-b)^{2}$.
(2)原式$=(-5+\frac{1}{2}-3)(x+2y-z)^{3}=-\frac{15}{2}(x+2y-z)^{3}$.

15. 类比同类项的概念,我们规定：所含字母相同,并且相同字母的指数之差的绝对值等于 $0$ 或 $1$ 的项是“强同类项”,例如：$-x^{3}y^{4}$ 与 $2x^{4}y^{3}$ 是“强同类项”。
(1) 给出下列四个单项式：
① $5x^{2}y^{5}$,② $-x^{5}y^{5}$,③ $4x^{4}y^{4}$,④ $-2x^{3}y^{6}$。其中与 $x^{4}y^{5}$ 是“强同类项”的是②③④(填序号)；
(2) 若 $x^{3}y^{4}z^{m - 2}$ 与 $-2x^{2}y^{3}z^{6}$ 是“强同类项”,求 $m$ 的值；
因为$x^{3}y^{4}z^{m-2}$与$-2x^{2}y^{3}z^{6}$是“强同类项”，所以m-2=5，6或7，所以m=7，8或9.
(3) 若 $C$ 为关于 $x$,$y$ 的多项式,$C = (n - 5)x^{5}y^{6} + 3x^{4}y^{5} - 7x^{4}y^{n}$,当 $C$ 的任意两项都是“强同类项”时,求 $n$ 的值；
由题可知$(n-5)x^{5}y^{6}$与$3x^{4}y^{5}$是“强同类项”.
当$(n-5)x^{5}y^{6}$与$-7x^{4}y^{n}$是“强同类项”时，n=5，6或7；
当$3x^{4}y^{5}$与$-7x^{4}y^{n}$是“强同类项”时，n=4，5或6.所以n=5或6.又因为当n=5时，C=-4x^{4}y^{5}是单项式，与已知矛盾，所以n=6.
(4) 已知 $2a^{2}b^{s}$,$3a^{t}b^{4}$ 均为关于 $a$,$b$ 的单项式,其中 $s = |x - 1| + k$,$t = 2k$,如果 $2a^{2}b^{s}$ 与 $3a^{t}b^{4}$ 是“强同类项”,那么 $x$ 的最大值是$\frac{11}{2}$,最小值是$-\frac{7}{2}$。

答案： 【解】
(1)②③④
(2)因为$x^{3}y^{4}z^{m-2}$与$-2x^{2}y^{3}z^{6}$是“强同类项”，所以m-2=5，6或7，所以m=7，8或9.
(3)由题可知$(n-5)x^{5}y^{6}$与$3x^{4}y^{5}$是“强同类项”.
当$(n-5)x^{5}y^{6}$与$-7x^{4}y^{n}$是“强同类项”时，n=5，6或7；
当$3x^{4}y^{5}$与$-7x^{4}y^{n}$是“强同类项”时，n=4，5或6.所以n=5或6.又因为当n=5时，C=-4x^{4}y^{5}是单项式，与已知矛盾，所以n=6.
(4)$\frac{11}{2}$;$-\frac{7}{2}$【点拨】因为$2a^{2}b^{t}$，$3a^{s}b^{4}$是“强同类项”，所以s=3，4或5，t=1，2或3.因为t=2k，所以k=$\frac{1}{2}$，1或$\frac{3}{2}$.因为s=|x-1|+k，所以|x-1|=s-k.当s取最大值，k取最小值时，|x-1|取得最大值，此时x有最大值和最小值，即当s=5，k=$\frac{1}{2}$时，|x-1|=s-k=5-$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，解得x=$\frac{11}{2}$或$-\frac{7}{2}$，所以x的最大值为$\frac{11}{2}$，x的最小值为$-\frac{7}{2}$.