《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册鲁教版五四制》

10. 两个圆柱的底面半径均为30cm,高均为50cm,将这两个圆柱的侧面展开图粘成一个大的矩形(不重叠),然后再将它卷成与原来圆柱等高的圆柱的侧面,求新卷成的圆柱的体积。(结果保留π)

答案： 【解】因为两个圆柱的底面半径均为30cm，高均为50cm，所以它们的侧面展开图的长是2π×30 = 60π(cm)，所以新卷成的圆柱的侧面的长为120πcm.设新卷成的圆柱的底面半径为rcm，则2πr = 120π，解得r = 60.所以新卷成的圆柱的体积为πr²×50 = 3600π×50 = 180000π(cm³).

11. 小明学习了正方体的展开图后,明白了很多几何体都能展开成平面图形。于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒,可是一不小心多剪开了一条棱,把纸盒剪成了两部分,如图①、图②所示。请根据你所学的知识,回答下列问题：
(1)【动手操作】
现在小明想将剪断的图②重新粘贴到图①上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图③),请你帮助小明在图①中补全图形(补出来一种即可)；
(2)【解决问题】
经过测量,小明发现这个纸盒的底面是一个正方形,它的边长是长方体高的5倍,根据图①中的数据,求这个纸盒的体积。

答案：
【解】
(1)如图，有四种补法，任选其一即可. ①
(2)由题图知，长方体底面正方形的边长为10cm.因为正方形边长是长方体高的5倍，所以长方体高为2cm.所以这个纸盒的体积为10×10×2 = 200(cm³).

12. 新视角 操作实践题 某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动,他们利用边长为a cm的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒(图①为无盖的长方体纸盒,图②为有盖的长方体纸盒)。

【操作一】根据图①方式制作一个无盖的长方体纸盒。方法：先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为b cm的小正方形,再沿虚线折起来。
【问题解决】
(1)若$a = 12$,$b = 3$,则长方体纸盒的底面积为36cm²。
【操作二】根据图②方式制作一个有盖的长方体纸盒。方法：先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为b cm的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折起来。
【拓展延伸】
(2)若$a = 12$,$b = 2$,则该长方体纸盒的体积为64cm³。
(3)现有两张边长为a cm的正方形纸板,分别按图①、图②的要求制作无盖和有盖的两个长方体纸盒,若$a = 30$,$b = 5$,求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍。
当a = 30，b = 5时，按题图①制作的无盖长方体纸盒的体积为(30 - 5×2)×(30 - 5×2)×5 = 2000(cm³).按题图②制作的有盖长方体纸盒的体积为(30 - 5×2)×($\frac{30 - 5×2}{2}$)×5 = 1000(cm³).因为2000÷1000 = 2，所以无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的2倍.

答案：
(1)36cm²
(2)64cm³　【点拨】如题图②，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折起来可得到长为(a - 2b)cm，宽为$\frac{a - 2b}{2}$cm，高为bcm的长方体.当a = 12，b = 2时，该长方体纸盒的长为12 - 2×2 = 8(cm)，宽为$\frac{12 - 2×2}{2}$ = 4(cm)，高为2cm，所以体积为8×4×2 = 64(cm³).
(3)当a = 30，b = 5时，按题图①制作的无盖长方体纸盒的体积为(30 - 5×2)×(30 - 5×2)×5 = 2000(cm³).按题图②制作的有盖长方体纸盒的体积为(30 - 5×2)×($\frac{30 - 5×2}{2}$)×5 = 1000(cm³).因为2000÷1000 = 2，所以无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的2倍.