《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册鲁教版五四制》

5. 观察下列各式：$1^3 = 1 = \frac{1}{4}×1^2×2^2$,
$1^3 + 2^3 = 9 = \frac{1}{4}×2^2×3^2$,
$1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = \frac{1}{4}×3^2×4^2$,
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = \frac{1}{4}×4^2×5^2$,…$$.
回答下面的问题：
(1)猜想：$1^3 + 2^3 + 3^3 + … + (n - 1)^3 + n^3 = $$\frac{1}{4}n^{2}(n + 1)^{2}$；
(2)求$11^3 + 12^3 + … + 19^3 + 20^3$的值.
$11^{3}+12^{3}+…+19^{3}+20^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+19^{3}+20^{3}-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+10^{3})=\frac{1}{4}×20^{2}×21^{2}-\frac{1}{4}×10^{2}×11^{2}=44100 - 3025=41075.$

答案：
(1)$\frac{1}{4}n^{2}(n + 1)^{2}$
(2)$11^{3}+12^{3}+…+19^{3}+20^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+19^{3}+20^{3}-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+10^{3})=\frac{1}{4}×20^{2}×21^{2}-\frac{1}{4}×10^{2}×11^{2}=44100 - 3025=41075.$

6. 探索规律.

(1)观察上面的图,发现：
图①中空白部分小正方形的个数是$2^2 - 1^2 = 2 + 1$；
图②中空白部分小正方形的个数是$4^2 - 3^2 = 4 + 3$；
图③中空白部分小正方形的个数是$5^2 - 4^2 = $5+4；
(2)像这样继续排列下去,你会发现一些有趣的规律,请你再写出一道算式：$6^{2}-5^{2}=6 + 5$；
(3)运用规律计算：$(2027^2 - 2026^2 + 2025^2 - 2024^2 + 2023^2 - 2022^2 + … + 2^2 - 1^2)÷1014$.
$(2027^{2}-2026^{2}+2025^{2}-2024^{2}+2023^{2}-2022^{2}+…+2^{2}-1^{2})÷1014=(2027 + 2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 +…+2 + 1)÷1014=\frac{(1 + 2027)×2027}{2}÷1014=1014×2027÷1014=2027.$

答案：
(1)5;4
(2)$6^{2}-5^{2}=6 + 5$(答案不唯一)
(3)$(2027^{2}-2026^{2}+2025^{2}-2024^{2}+2023^{2}-2022^{2}+…+2^{2}-1^{2})÷1014=(2027 + 2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 +…+2 + 1)÷1014=\frac{(1 + 2027)×2027}{2}÷1014=1014×2027÷1014=2027.$

7. 阅读材料：因为一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,所以当$a \geq 0$时,$|a| = a$,如$|2| = 2$,$|2 - 1| = 2 - 1 = 1$；当$a ＜ 0$时,$|a| = -a$,如$|-2| = 2$,$|1 - 2| = -(1 - 2) = 2 - 1 = 1$.
根据以上信息回答下列问题：
(1)$|7 - 5| = $2；$|3 - 3.14| = $0.14；
(2)计算：$|\frac{1}{2} - 1| + |\frac{1}{3} - \frac{1}{2}| + |\frac{1}{4} - \frac{1}{3}| + |\frac{1}{5} - \frac{1}{4}| + |\frac{1}{6} - \frac{1}{5}| + |\frac{1}{7} - \frac{1}{6}| + |\frac{1}{8} - \frac{1}{7}|$.
$|\frac{1}{2}-1| + |\frac{1}{3}-\frac{1}{2}| + |\frac{1}{4}-\frac{1}{3}| + |\frac{1}{5}-\frac{1}{4}| + |\frac{1}{6}-\frac{1}{5}| + |\frac{1}{7}-\frac{1}{6}| + |\frac{1}{8}-\frac{1}{7}|=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.$

答案：
(1)2;0.14
(2)$|\frac{1}{2}-1| + |\frac{1}{3}-\frac{1}{2}| + |\frac{1}{4}-\frac{1}{3}| + |\frac{1}{5}-\frac{1}{4}| + |\frac{1}{6}-\frac{1}{5}| + |\frac{1}{7}-\frac{1}{6}| + |\frac{1}{8}-\frac{1}{7}|=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.$