《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册鲁教版五四制》

13. 新考向 数学文化 [2025·烟台莱州市期末]《棋盘上的麦粒》故事中,国王往棋盘的第1格中放1粒麦子,第2格中放2粒麦子,第3格中放4粒麦子,…,依次类推,每一格均是前一格的双倍,那么他在第20格中所放的麦粒数是$2^{19}$。

答案： $2^{19}$

14. 新考向 知识情境化 当你把纸对折1次时,就得到2层；对折2次时,就得到4层……照这样对折下去。(最多对折7次)
(1)你能发现层数和对折的次数有什么关系吗？
(2)对折6次时,层数是多少？
(3)如果纸的厚度是0.1mm,求对折7次时,总厚度是多少。

答案： [解]
(1)设对折的次数是$n$，则折得的层数是$2^{n}$（$1\leqslant n\leqslant7$且$n$为正整数）.
(2)对折6次，即当$n=6$时，层数为$2^{6}=64$.
(3)对折7次时，总厚度为$0.1×2^{7}=0.1×128=12.8$（mm）.

15. 在一次综合实践活动课上,张老师给每名同学各发了一张正方形纸片,请同学们思考如何通过折纸的方法求出 $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{6}} $ 的值。
【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后,进行了如下操作：如图(1),将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分,第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半,第②部分是第①部分面积的一半,第③部分是第②部分面积的一半,…,依次类推,则图(1)中空白部分的面积为 $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{6}} $。“破浪”小组是这样思考的：设 $ S= \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{6}} $,将等式两边同时乘 $ \frac{1}{2} $,得 $ \frac{1}{2}S= \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{7}} $,$ S-\frac{1}{2}S $,得 $ \frac{1}{2}S= \frac{1}{2}-\frac{1}{2^{7}} $,所以 $ S= 1-\frac{1}{2^{6}}= \frac{63}{64} $,即 $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{6}}= \frac{63}{64} $。

【过程思考】
(1)图(1)中阴影部分(第⑦部分)的面积是______,$ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{7}}= $______；
(2)请你利用图(2),再设计能求 $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{6}} $ 的值的几何图形；(只画出图形即可)
(3)根据以上规律,解决下面的问题。
①$ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}= $______；($ n $ 为正整数)
②求 $ 2+4+8+16+...+2^{n} $ 的值。($ n $ 为正整数)
]

答案：
[解]
(1)$\frac{1}{64}$；$\frac{127}{128}$ [点拨]由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，所以图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等.又因为第①部分的面积为$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{1}}$，第②部分的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^{2}}$，第③部分的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}}$，…，依次类推，第$n$部分的面积为$\frac{1}{2^{n}}$.当$n=6$时，$\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{6}}=\frac{1}{64}$.所以阴影部分（第⑦部分）的面积为$\frac{1}{64}$.易知$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{7}}+\frac{1}{2^{7}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{7}}=1-\frac{1}{2^{7}}=\frac{127}{128}$.
(2)如图，标序号部分即为求$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{6}}$的值的几何图形.（答案不唯一）
(3)①$1-\frac{1}{2^{n}}$
②令$S=2+4+8+16+\cdots+2^{n}$①，
将等式两边同时乘2，得$2S=4+8+16+32+\cdots+2^{n+1}$②，
将②式减去①式，得$S=2^{n+1}-2$，即$2+4+8+16+\cdots+2^{n}=2^{n+1}-2$.