《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册鲁教版五四制》

10. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,如图所示的运算程序中,若开始输入$x的值为3$,则第$2026$次输出的结果是-3。

答案： -3 【点拨】第一次：3为奇数，$3-5=-2$，第二次：$-2$为偶数，$-2× \dfrac{1}{2}=-1$，第三次：$-1$为奇数，$-1-5=-6$，第四次：$-6$为偶数，$-6× \dfrac{1}{2}=-3$，第五次：$-3$为奇数，$-3-5=-8$，第六次：$-8$为偶数，$-8× \dfrac{1}{2}=-4$，第七次：$-4$为偶数，$-4× \dfrac{1}{2}=-2$，$\cdots$，由此可见，每6次为一组循环，按照$-2$，$-1$，$-6$，$-3$，$-8$，$-4$的顺序循环，因为$2026÷ 6=337\cdots \cdots 4$，所以第2026次输出的结果为$-3$.

11. 在数学活动课上,李老师设计了一个游戏活动,四名同学分别代表一种运算,四名同学可以任意排列,每次排列代表一种运算顺序,剩余同学中,一名学生负责说一个数,其他同学负责运算,运算结果既对又快者获胜,可以得到一个奖品。
下面我们用四个卡片代表四名同学(如图)：
A: 乘2
B: 减-5
C: 平方
D: 加6

(1)列式,并计算：
①$-3经过A$,$B$,$C$,$D$的顺序运算后,结果是多少？
②$5经过B$,$C$,$A$,$D$的顺序运算后,结果是多少？
(2)$-1^{103}经过D$,$C$,$A$,$B$的顺序运算后,结果是多少？

答案： 【解】（1）①$[-3× 2-(-5)]^{2}+6=7$.②$[5-(-5)]^{2}× 2+6=206$.
（2）$(-1^{103}+6)^{2}× 2-(-5)$$=(-1+6)^{2}× 2-(-5)$$=25× 2+5$$=55$.

12. [2025·潍坊模拟] 某种品牌的同一种洗衣粉有$A$,$B$,$C$三种袋装包装,每袋分别装有$400$克、$300$克、$200$克的洗衣粉,售价分别为$3.5$元、$2.8$元、$1.9$元。$A$,$B$,$C$三种包装的洗衣粉,每袋的包装费用(含包装袋成本)分别为$0.8$元、$0.6$元、$0.5$元。厂家销售$A$,$B$,$C三种包装的洗衣粉各1200$千克,获得利润最大的是哪种包装的洗衣粉？

答案： 【解】A种包装的洗衣粉获利为$\number{1200000}÷ 400× (3.5-0.8)=\number{8100}$(元)；B种包装的洗衣粉获利为$\number{1200000}÷ 300× (2.8-0.6)=\number{8800}$(元)；C种包装的洗衣粉获利为$\number{1200000}÷ 200× (1.9-0.5)=\number{8400}$(元)，因为$\number{8100} ＜ \number{8400} ＜ \number{8800}$.所以获得利润最大的是B种包装的洗衣粉.

13. 新考法 探究循环规律法 阅读材料,解决问题：
由$3^{1}= 3$,$3^{2}= 9$,$3^{3}= 27$,$3^{4}= 81$,$3^{5}= 243$,$3^{6}= 729$,$3^{7}= 2187$,$3^{8}= 6561$,…$$,
不难发现$3的正整数幂的个位数字以3$,$9$,$7$,$1$为一个周期循环出现,由此可以得到：
因为$3^{100}= 3^{4×25}$,所以$3^{100}的个位数字与3^{4}$的个位数字相同,应为$1$；
因为$3^{2026}= 3^{4×506 + 2}$,所以$3^{2026}的个位数字与3^{2}$的个位数字相同,应为$9$。
(1)请你仿照材料,分别求出$7^{99}的个位数字及8^{99}$的个位数字；
(2)请探索出$2^{21}+7^{21}+8^{21}$的个位数字；
(3)请直接写出$8^{22}-2^{22}-3^{22}$的个位数字。

答案： 【解】（1）因为$7^{1}=7$，$7^{2}=49$，$7^{3}=343$，$7^{4}=\number{2401}$，$7^{5}=\number{16807}$，$\cdots$，所以7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现.因为$7^{99}=7^{4× 24+3}$，所以$7^{99}$的个位数字与$7^{3}$的个位数字相同，应为3.因为$8^{1}=8$，$8^{2}=64$，$8^{3}=512$，$8^{4}=\number{4096}$，$8^{5}=\number{32768}$，$\cdots$，所以8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现.因为$8^{99}=8^{4× 24+3}$，所以$8^{99}$的个位数字与$8^{3}$的个位数字相同，应为2.
（2）因为$2^{1}=2$，$2^{2}=4$，$2^{3}=8$，$2^{4}=16$，$2^{5}=32$，$\cdots$，所以2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现.因为$2^{21}=2^{4× 5+1}$，所以$2^{21}$的个位数字与$2^{1}$的个位数字相同，应为2.因为$7^{21}=7^{4× 5+1}$，所以$7^{21}$的个位数字与$7^{1}$的个位数字相同，应为7.因为$8^{21}=8^{4× 5+1}$，所以$8^{21}$的个位数字与$8^{1}$的个位数字相同，应为8.因为$2+7+8=17$，所以$2^{21}+7^{21}+8^{21}$的个位数字是7.
（3）$8^{22}-2^{22}-3^{22}$的个位数字是1.
点易错 仿照阅读材料，分别找出2，7，8的正整数幂的个位数字规律，即可解决问题.