《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册鲁教版五四制》

14. 新考法 阅读类比法 回答下列问题.
(1)填空：
① $(2×3)^{2}=$36,$2^{2}×3^{2}=$36；
② $\left(-\dfrac{1}{2}×2\right)^{3}=$-1,$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3}×2^{3}=$-1.
(2)比一比：(1)题每组中的两个算式的结果是否相等？猜一猜：当$n$为正整数时,$(ab)^{n}=$$a^{n}b^{n}$.
(3)试一试：计算$\left(1\dfrac{1}{2}\right)^{2026}×\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2026}$的值.
$(1\frac{1}{2})^{2026}×(-\frac{2}{3})^{2026}=[\frac{3}{2}×(-\frac{2}{3})]^{2026}=(-1)^{2026}=1.$

答案： 【解】
(1)①36;36 ②-1;-1
(2)相等.$a^{n}b^{n}$
(3)$(1\frac{1}{2})^{2026}×(-\frac{2}{3})^{2026}=[\frac{3}{2}×(-\frac{2}{3})]^{2026}=(-1)^{2026}=1.$

15. 新考法 阅读类比法 为了求$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2026}$的值,可令$S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2026}$,
则$2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + … + 2^{2027}$,因此 $2S - S = (2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + … + 2^{2027}) - (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2026}) = 2^{2027} - 1$.
所以$S = 2^{2027} - 1$,即$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2026} = 2^{2027} - 1$.
请依照此法,求$1 + 4 + 4^{2} + 4^{3} + 4^{4} + … + 4^{2026}$的值.

答案： 【解】设$T=1+4+4^{2}+4^{3}+4^{4}+\cdots+4^{2026},$则$4T=4+4^{2}+4^{3}+4^{4}+4^{5}+\cdots+4^{2027},$因此$4T-T=4^{2027}-1,$所以$T=\frac{4^{2027}-1}{3},$即$1+4+4^{2}+4^{3}+4^{4}+\cdots+4^{2026}=\frac{4^{2027}-1}{3}.$

16. 新视角 新定义题 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如$2÷2÷2$,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等,类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2记作2^{\odot3}$,读作“2的圈3次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)^{\odot4}$,读作“$-3$的圈4次方”.一般地,把$\underbrace{a÷ a÷…÷ a}_{n个a}(a\neq0)记作a^{\odot n}$,读作“$a的圈n$次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：$2^{\odot3}= $$\frac{1}{2}$,$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{\odot3}= $$-2$.
【深入思考】
$2^{\odot4}= 2×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$.
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(2)试一试,仿照上面的算式,将下列运算结果写成幂的形式.
$5^{\odot6}$；$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{\odot10}$.
$5^{\odot6}=5×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=(\frac{1}{5})^{4}$；$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{\odot10}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=(-2)^{8}=2^{8}$
(3)想一想：有理数$a(a\neq0)的圈n(n\geqslant3)$次方写成幂的形式等于多少,并写出推导过程.
$a^{\odot n}=\frac{1}{a^{n-2}}$.推导过程：$a^{\odot n}=\underbrace{a÷ a÷ a÷\cdots÷ a}_{n个a}=a×\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\cdots×\frac{1}{a}}_{(n-1)个\frac{1}{a}}=1×\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\cdots×\frac{1}{a}}_{(n-2)个\frac{1}{a}}=\frac{1}{\underbrace{a× a× a×\cdots× a}_{(n-2)个a}}=\frac{1}{a^{n-2}}$

答案： 【解】
(1)$\frac{1}{2}$;-2
(2)$5^{\circledR}=5×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=(\frac{1}{5})^{4}.$ $(-\frac{1}{2})^{\circledR}=(-\frac{1}{2})×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=(-2)^{8}=2^{8}.$
(3)$a^{\circledR}=\frac{1}{a^{n-2}}.$ $a^{\circledR}=\underbrace{a÷ a÷ a÷\cdots÷ a}_{n个a}=a×\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\cdots×\frac{1}{a}}_{(n-1)个\frac{1}{a}}=1×\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\cdots×\frac{1}{a}}_{(n-2)个\frac{1}{a}}=\frac{1}{\underbrace{a× a× a×\cdots× a}_{(n-2)个a}}=\frac{1}{a^{n-2}},$即$a^{\circledR}=\frac{1}{a^{n-2}}.$