《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册鲁教版五四制》

9. 新考法 类比法 如图①是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体,类比梯形面积公式的推导方法(如图②),推导图①中的几何体的体积为63π.

答案： 63π

10. 我们知道,三棱柱的上、下底面都是三角形,正三棱柱的上、下底面都是等边三角形.如图,大正三棱柱的底面周长为10,用一平面截取一个底面周长为3的小正三棱柱,截面为四边形DEFG.
(1)请写出截面的形状；
(2)请求出四边形DECB的周长.

答案：
(1)由题意得截面的形状为长方形.
(2)因为三角形 ADE 是周长为 3 的等边三角形，
所以 DE=AD=AE=1.
又因为三角形 ABC 是周长为 10 的等边三角形，
所以 $ AB=AC=BC=\frac{10}{3} $，
所以 $ DB=EC=\frac{10}{3}-1=\frac{7}{3} $，
所以四边形 DECB 的周长为 $ 1+\frac{7}{3}× 2+\frac{10}{3}=9 $.

11. 如图是一个长为4cm,宽为3cm的长方形纸片ABCD,将该长方形纸片绕其一条边所在的直线旋转一周,然后用平面沿与AB平行的方向去截所得的几何体,求截面的最大面积.(结果保留π)

答案： 【解】若把长方形 ABCD 绕 AD 边或 BC 边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
该圆柱的底面半径为 3 cm，高为 4 cm，
用平面沿与 AB 平行的方向去截该圆柱，截面是圆，
易知截面的面积为 $ 3^{2}× \pi =9\pi (cm^{2}) $；
若把长方形 ABCD 绕 AB 边或 CD 边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
该圆柱的底面半径为 4 cm，高为 3 cm，
用平面沿与 AB 平行的方向去截该圆柱，截面是长方形，
易知截面的最大面积为 $ 2× 4× 3=24(cm^{2}) $.
因为 $ 9\pi ＞24 $，
所以截面的最大面积为 $ 9\pi cm^{2} $.

12. 新考法 逆向思维法 如图,有一个外观为圆柱形的物体,它的内部构造面看不到,当分别用一组平面沿水平方向(自上而下)和竖直方向(自左而右)截这个物体时,得到了如图所示的(1)(2)两组形状不同的截面,请你试着说出这个物体的内部构造.

答案： 【解】通过观察可以发现：在物体内部的圆由上至下由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点；从左往右由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点，所以这个物体的内部构造为圆柱中间有一球状空洞.