《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册鲁教版五四制》

1. 比较$\frac{17}{31}和\frac{52}{93}$的大小.

答案： 【解】因为$\frac{52}{93}-\frac{17}{31}=\frac{52}{93}-\frac{51}{93}=\frac{1}{93}＞0$,所以$\frac{52}{93}＞\frac{17}{31}$.
【点拨】当比较的两个数的大小非常接近,无法直接比较大小时,作差法是常用的方法.

2. 比较$-\frac{17}{2025}和-\frac{34}{4071}$的大小.

答案： 【解】$\left|-\frac{17}{2025}\right|=\frac{17}{2025}$,$\left|-\frac{34}{4071}\right|=\frac{34}{4071}$.因为$\frac{17}{2025}÷\frac{34}{4071}=\frac{17}{2025}×\frac{4071}{34}=\frac{4071}{4050}＞1$,所以$\frac{17}{2025}＞\frac{34}{4071}$.所以$-\frac{17}{2025}＜-\frac{34}{4071}$.
【点拨】作商法是比较两个数大小的常用方法.当比较的两个正分数作商易约分时,作商比较往往能起到事半功倍的效果;当比较大小的两个数是负分数时,可先分别求出它们的绝对值,再作商比较它们绝对值的大小,最后根据绝对值大的反而小得出结论.

3. 比较$\frac{1011}{2026}与\frac{1013}{2025}$的大小.

答案： 【解】因为$\frac{1011}{2026}＜\frac{1}{2}$,$\frac{1013}{2025}＞\frac{1}{2}$,所以$\frac{1011}{2026}＜\frac{1013}{2025}$.
【点拨】对于类似的两数的大小比较,我们可以引入一个中间量,分别比较它们与中间量的大小,从而得出问题的答案.

4. 比较$\frac{111}{1111}和\frac{1111}{11111}$的大小.

答案： 【解】$\frac{111}{1111}$的倒数是$10\frac{1}{111}$,$\frac{1111}{11111}$的倒数是$10\frac{1}{1111}$.因为$10\frac{1}{111}＞10\frac{1}{1111}$,所以$\frac{111}{1111}＜\frac{1111}{11111}$.
【点拨】利用倒数法比较两个正分数的大小时,需先求出其倒数,再根据倒数大的反而小确定这两个正分数的大小.

5. 比较$-\frac{2025}{2026},-\frac{20}{21},-\frac{2028}{2029},-\frac{19}{20}$的大小.

答案： 【解】每个分数都加1,分别得$\frac{1}{2026}$,$\frac{1}{21}$,$\frac{1}{2029}$,$\frac{1}{20}$.因为$\frac{1}{2029}＜\frac{1}{2026}＜\frac{1}{21}＜\frac{1}{20}$,所以$-\frac{2028}{2029}＜-\frac{2025}{2026}＜-\frac{20}{21}＜-\frac{19}{20}$.
【点拨】本题直接比较很困难,但通过把这些数进行适当变形,再进行比较就简单多了.

6. 已知$a＞0,b＜0$,且$|b|\lt a$,试比较$a,-a,b,-b$的大小.

答案： 【解】因为$a＞0$,$b＜0$,所以表示a,b的点分别在原点的右边和左边.又由$|b|＜a$,知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离,则四个数表示在数轴上如图:![img alt=-a b 0 -b a]故$-a＜b＜-b＜a$.
🔔点方法 本题运用数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断.

7. 当$0\lt x\lt1$时,将$x,\frac{1}{x},x^2$按从小到大的顺序用“$＜$”连接起来.

答案： 【解】因为$0＜x＜1$,所以不妨设$x=\frac{1}{2}$,则$\frac{1}{x}=2$,$x^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$.因为$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜2$,所以$x^{2}＜x＜\frac{1}{x}$.

8. 比较$a与\frac{a}{3}$的大小.

答案： 【解】分三种情况讨论:当$a＞0$时,$a＞\frac{a}{3}$;当$a=0$时,$a=\frac{a}{3}$;当$a＜0$时,因为$|a|＞\left|\frac{a}{3}\right|$,所以$a＜\frac{a}{3}$.综上,当$a＞0$时,$a＞\frac{a}{3}$;当$a=0$时,$a=\frac{a}{3}$;当$a＜0$时,$a＜\frac{a}{3}$.