《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

6. 如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上的一点,D在线段AB的延长线上,∠DCB= ∠A. 求证：CD是⊙O的切线.
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答案： 【解析】：
本题考查圆的切线证明。证明切线需要连接半径和证明垂直，本题需要连接$OC$，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质，证明$OC\perp CD$。
【答案】：
证明：
连接$OC$，
∵$OA=OC$，
∴$\angle A=\angle ACO$。
∵$\angle DCB=\angle A$，
∴$\angle DCB=\angle ACO$。
∵$AB$是直径，
∴$\angle ACB=90^\circ$，
∴$\angle OCB+\angle ACO=90^\circ$，
∴$\angle DCB+\angle OCB=90^\circ$，
∴$\angle OCD=90^\circ$，
∴$OC\perp CD$。
∵$OC$是半径，
∴$CD$是$\odot O$的切线。

7. 如图,已知AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD与过C点的切线互相垂直,垂足为E点. 问：AC是否平分∠BAE,为什么？
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答案： 【解析】：本题主要考查圆的切线性质、直径所对的圆周角性质以及角平分线的判定。
已知$AB$是$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，$AD$与过$C$点的切线互相垂直，垂足为$E$点。
根据圆的切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
所以$OC\perp CE$。
又因为$AD\perp CE$，所以$OC// AD$（垂直于同一条直线的两条直线平行）。
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。
所以$\angle OCA=\angle CAD$。
再根据圆的性质：同圆的半径相等，所以$OA = OC$。
根据等腰三角形的性质：等边对等角，所以$\angle OAC=\angle OCA$。
由上述两个等式可得$\angle OAC=\angle CAD$，即$AC$平分$\angle BAE$。
【答案】：证明：连接$OC$。
$\because OC$为$\odot O$半径，$CE$为$\odot O$切线，
$\therefore OC\perp CE$。
$\because AD\perp CE$，
$\therefore OC// AD$。
$\therefore \angle OCA=\angle CAD$。
$\because OA=OC$，
$\therefore \angle OAC=\angle OCA$。
$\therefore \angle OAC=\angle CAD$。
即$AC$平分$\angle BAE$。

8. 如图,在△ABC中,AB= AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D. 求证：AC与⊙O相切.
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答案： 证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E。
∵AB=AC，O是BC的中点，
∴∠B=∠C，BO=CO。
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ODB=90°。
∵OE⊥AC，
∴∠OEC=90°=∠ODB。
在△ODB和△OEC中，
∠ODB=∠OEC，
∠B=∠C，
BO=CO，
∴△ODB≌△OEC（AAS）。
∴OE=OD。
∵OD是⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径。
∵OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切。