《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1.下列方程是一元二次方程的是(D).
$A.x^2+2xy= 5$
B.x^2+$\frac{1}{x}$= 2
$C.x^2+y^2= 6$
$D.x^2= 5$

答案： 【解析】：
本题考察的是一元二次方程的定义。一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
A选项：$x^2+2xy= 5$，此方程含有两个未知数x和y，因此不是一元二次方程。
B选项：$x^2+\frac{1}{x}= 2$，此方程虽然只含有一个未知数x，但$\frac{1}{x}$不是整式，因此不是一元二次方程。
C选项：$x^2+y^2= 6$，此方程含有两个未知数x和y，因此不是一元二次方程。
D选项：$x^2= 5$，此方程只含有一个未知数x，且x的最高次数是2，满足一元二次方程的定义。
【答案】：
D

2,若关于x的一元二次方程$x^2-2x$十kb+1= 0有两个不相等的实数根,则一次函数y= kx十b的大致图象可能是(B).

答案： 解：
∵一元二次方程$x^2 - 2x + kb + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(kb + 1) ＞ 0$，
$4 - 4kb - 4 ＞ 0$，
$-4kb ＞ 0$，
$kb ＜ 0$。
A选项：$k ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$kb ＞ 0$，不符合；
B选项：$k ＞ 0$，$b ＜ 0$，则$kb ＜ 0$，符合；
C选项：$k ＜ 0$，$b = 0$，则$kb = 0$，不符合；
D选项：$k = 0$，不是一次函数，不符合。
答案：B

3.生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组互赠了182件.如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是(B).
A.x(x+1)= 182
B.x(x-1)= 182
C.(x+6)^2= $\frac{1}{2}$
D.x(x-1)= 182×2

答案： 解：全组有x名同学，每名同学向其他(x-1)名同学各赠送一件标本，则共赠送x(x-1)件。根据题意，得x(x-1)=182。
答案：B

4.方程$x^2+6x-5= 0$的左边配成完全平方式后所得方程为($(x + 3)^2 = 14$).
$A.(x+3)^2= 14$
$B.(x-3)^2= 14$
C.(x+6)^2= $\frac{1}{2}$
D.以上答案都不对

答案： 解：$x^2 + 6x - 5 = 0$
移项，得$x^2 + 6x = 5$
配方，得$x^2 + 6x + 9 = 5 + 9$
即$(x + 3)^2 = 14$
A

5.有两个一元二次方程,方程$M:ax^2$十bx十c= 0,方程$N:cx^2$十bx十a= 0,其中α≠c,以下四个结论中,不正确的是(D).
A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的
实数根
B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
C.如果x= 5是方程M的一个根,那么x= $\frac{1}{5}$是方程N的一个根
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x= 1

答案： 【解析】：
本题考察的是一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及方程的解。
A选项：判断两个方程的根的情况，需要用到根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
如果方程$M$有两个不相等的实数根，那么$\Delta_M = b^2 - 4ac ＞ 0$。
对于方程$N$，其判别式为$\Delta_N = b^2 - 4ca$。
由于$a \neq c$，但$\Delta_N$与$\Delta_M$只是$a$和$c$的位置交换了，不影响判别式的正负，
因此如果$\Delta_M ＞ 0$，那么$\Delta_N ＞ 0$，即方程$N$也有两个不相等的实数根。
所以A选项正确。
B选项：判断两个方程根的符号，需要用到根与系数的关系。
如果方程$M$的两根符号相同，那么根据根与系数的关系，有$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＞ 0$。
对于方程$N$，其两根的乘积为$x_1x_2 = \frac{a}{c}$。
由于$\frac{c}{a} ＞ 0$，且$a \neq c$，但$\frac{a}{c}$也大于0，
因此方程$N$的两根符号也相同。
所以B选项正确。
C选项：判断一个数是某个方程的根，需要用到方程的解的定义。
如果$x = 5$是方程$M$的一个根，那么代入方程$M$得$25a + 5b + c = 0$。
对于方程$N$，如果$x = \frac{1}{5}$是其根，那么代入方程$N$得$\frac{1}{25}c + \frac{1}{5}b + a = 0$。
将$25a + 5b + c = 0$两边同时除以25，得到$\frac{1}{25}c + \frac{1}{5}b + a = 0$，
这说明如果$x = 5$是方程$M$的根，那么$x = \frac{1}{5}$确实是方程$N$的根。
所以C选项正确。
D选项：判断两个方程是否有相同根，需要解方程组。
如果方程$M$和方程$N$有一个相同的根，设这个根为$x = m$，
那么有$am^2 + bm + c = 0$和$cm^2 + bm + a = 0$。
两式相减得$(a - c)m^2 + (c - a) = 0$，
即$(a - c)(m^2 - 1) = 0$。
由于$a \neq c$，所以$m^2 - 1 = 0$，解得$m = \pm 1$。
这说明如果方程$M$和方程$N$有一个相同的根，那么这个根可能是$x = 1$或$x = -1$。
但D选项只给出了$x = 1$这一种情况，所以D选项错误。
【答案】：D