《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

8. 如图,已知AB是⊙O的直径,M,N分别是OA,OB的中点,CM⊥AB,DN⊥AB. 求证：$\widehat{AC}= \widehat{BD}$.

答案： 【解析】：
本题考查圆心角、弧、弦的关系定理的推论，即如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。在本题中，已知$AB$是$\odot O$的直径，$M$，$N$分别是$OA$，$OB$的中点，$CM\perp AB$，$DN\perp AB$，需要证明$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，可先连接$OC$、$OD$，通过证明$\triangle OCM\cong\triangle ODN$得到$\angle AOC = \angle BOD$，再根据上述推论得出结论。
【答案】：
证明：
连接$OC$、$OD$。
因为$OA = OB$，$M$，$N$分别是$OA$，$OB$的中点，所以$OM = \frac{1}{2}OA$，$ON = \frac{1}{2}OB$，则$OM = ON$。
又因为$CM\perp AB$，$DN\perp AB$，所以$\angle OMC = \angle OND = 90^{\circ}$。
且$OC = OD$（同圆的半径相等）。
在$\triangle OCM$和$\triangle ODN$中，
$\begin{cases}OM = ON\\\angle OMC = \angle OND\\OC = OD\end{cases}$
所以$\triangle OCM\cong\triangle ODN(HL)$。
所以$\angle AOC = \angle BOD$。
根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，可得$\widehat{AC}=\widehat{BD}$。

9. 如图,已知锐角∠AOB.
(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作$\widehat{PQ}$,交射线OB于点D,连接CD.
(2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交$\widehat{PQ}$于点M,N.
(3)连接OM,MN.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中正确的有①②③(填序号),并证明其中一个正确的结论.
①∠COM= ∠COD；②若OM= MN,则∠AOB= 20°；③MN//CD；④MN= 3CD.

答案： 解：正确的结论有①②③。
证明①：由作图可知，OC=OD=OM=ON（均为⊙O的半径），CM=CD，DN=CD。
在△COM和△COD中，
∵OC=OC，OM=OD，CM=CD，
∴△COM≌△COD（SSS），
∴∠COM=∠COD。
证明②：由①知∠COM=∠COD，同理可证∠DON=∠COD。设∠AOB=∠COD=x，则∠COM=∠DON=x，
∴∠MON=∠COM+∠COD+∠DON=3x。
∵OM=MN，OM=ON，
∴OM=ON=MN，
∴△OMN为等边三角形，
∴∠MON=60°，即3x=60°，
∴x=20°，
∴∠AOB=20°。
证明③：由②知∠MON=3x，∠OCD=∠ODC=(180°-x)/2。
∵OC=OM，∠COM=x，
∴∠OCM=(180°-x)/2，
∴∠MCD=∠OCM+∠OCD=(180°-x)/2+(180°-x)/2=180°-x。
∵∠MON=3x，OM=ON，
∴∠OMN=(180°-3x)/2。
∵∠OMC=∠ODC=(180°-x)/2，
∴∠CMN=∠OMC-∠OMN=(180°-x)/2-(180°-3x)/2=x。
∵∠MCD+∠CMN=180°-x+x=180°，
∴MN//CD。