《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

6. 已知∠MAN= α(0°＜α＜60°),点B,C分别在射线AM,AN上,将线段CB绕点C顺时针旋转180°-α得到线段CD,点D在射线AN上,连接BD. 如图,用等式表示AB与CD的数量关系,并证明.

答案： 解：AB=CD。
证明：由旋转性质得CB=CD，∠BCD=180°-α。
∵∠MAN=α，
∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，即∠ABC+α+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°-α-∠ACB。
∵∠BCD=180°-α，∠BCD=∠ACB+∠ACD，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=180°-α-∠ACB，
∴∠ABC=∠ACD。
在△ABC和△DCA中，∠BAC=∠CDA=α（此处修正：应为∠BAC=∠CAD=α，且∠ABC=∠ACD，CB=CD），根据AAS可证△ABC≌△DCA（此处修正：条件应为∠BAC=∠CAD=α，∠ABC=∠ACD，CB=CD，符合AAS），
∴AB=CD。

7. 如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,BC= 2. 点D在BC上且BD:CD= 1:3. 连接AD,线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE,连接BE,DE.

(1)求∠EBC的度数；
(2)求△BDE的面积.

答案：
(1)
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC=√2（由BC=2及勾股定理得AB²+AC²=2²，2AB²=4，AB²=2，AB=√2）。
∵BD:CD=1:3，BC=2，
∴BD=0.5，CD=1.5。
∵AD绕点A顺时针旋转90°得AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°。
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°，即∠BAE=∠CAD。
在△ABE和△ACD中，
AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
∴∠ABE=∠ACD=45°。
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=45°+45°=90°。
(2)
由
(1)知△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=1.5。
∵∠EBC=90°，BD=0.5，
∴S△BDE=1/2×BE×BD=1/2×1.5×0.5=0.375=3/8。
答案：
(1)90°；
(2)3/8。

8. 如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN= 45°. 把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.

(1)求证：△AEM≌△ANM.
(2)若BM= 3,DN= 2,求正方形ABCD的边长.

答案：
(1)证明：
∵△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN，BE=DN，∠ABE=∠D=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAD=90°.
∵∠ABE=90°，∠ABC=90°，
∴点E，B，C在同一条直线上.
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAM+∠DAN=45°.
∵∠BAE=∠DAN，
∴∠BAM+∠BAE=45°，即∠EAM=45°.
∴∠EAM=∠NAM.
在△AEM和△ANM中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AN\\ ∠EAM=∠NAM\\ AM=AM\end{array}\right.$
∴△AEM≌△ANM(SAS).
(2)解：设正方形ABCD的边长为x，则BC=CD=x.
∵BM=3，DN=2，
∴MC=BC-BM=x-3，CN=CD-DN=x-2.
∵BE=DN=2，
∴EM=BE+BM=2+3=5.
∵△AEM≌△ANM，
∴MN=EM=5.
在Rt△MCN中，∠C=90°，
∴MN²=MC²+CN².
∵MN=5，MC=x-3，CN=x-2，
∴5²=(x-3)²+(x-2)².
整理，得x²-5x-6=0.
解得x₁=6，x₂=-1(不合题意，舍去).
∴正方形ABCD的边长为6.