《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

6. 已知⊙O的直径为10,弦AB= 6,P为AB上的一个动点,则OP的取值范围是$4 \leq OP \leq 5$.

答案： 【解析】：
本题主要考察的是圆的性质以及垂径定理的应用。
首先，根据题目给出的信息，我们知道⊙O的直径为10，所以半径$r=5$。
弦$AB=6$，我们需要找到$OP$的最小值和最大值。
根据垂径定理，我们知道从圆心垂直于弦的线段会平分这条弦。所以，我们可以找到弦$AB$的中点$M$，然后连接$OM$。
由于$OM$垂直于$AB$，且$AB=6$，那么$AM=MB=3$。
在直角三角形$OMA$中，我们可以利用勾股定理来找到$OM$的长度。
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$
由于$P$是弦$AB$上的一个动点，$OP$的最小值就是$OM$的长度，即4；
$OP$的最大值就是圆的半径，即5（当点$P$与点$A$或点$B$重合时）。
所以，$OP$的取值范围是$4 \leq OP \leq 5$。
【答案】：
$4 \leq OP \leq 5$

7. 如图,AB是同心圆中大圆的弦,交小圆于点C,D两点.
(1)求证：AC= BD；
(2)若大圆的半径为13,小圆的半径为$5\sqrt{2}$,AB= 24,求CD的长.

答案：
(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∵AE-CE=BE-DE，
∴AC=BD；
(2)解：连接OA，OC，
∵OE⊥AB，AB=24，
∴AE=1/2AB=12，
在Rt△AOE中，OA=13，AE=12，
∴OE=√(OA²-AE²)=√(13²-12²)=5，
在Rt△COE中，OC=5√2，OE=5，
∴CE=√(OC²-OE²)=√[(5√2)²-5²]=5，
∴CD=2CE=10.

8. 我国唐代李皋发明了桨轮船,这种船是原始形态的轮船,是近代明轮航行模式之先导.如图,某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为4m,若轮子的吃水深度CD为1m,求该桨轮船的轮子直径.

答案： 解：设轮子的半径为 $ r $ m，圆心为 $ O $，连接 $ OA $。
因为 $ CD $ 垂直于弦 $ AB $ 且过圆心 $ O $（垂直于弦的直径平分弦），所以 $ AD = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 $ m，$ OC = r $，$ OD = OC - CD = r - 1 $。
在 $ Rt\triangle AOD $ 中，由勾股定理得：$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，即 $ r^2 = 2^2 + (r - 1)^2 $。
展开得：$ r^2 = 4 + r^2 - 2r + 1 $，化简得：$ 0 = 5 - 2r $，解得 $ r = 2.5 $。
所以轮子直径为 $ 2r = 5 $ m。
答：该桨轮船的轮子直径为 5 m。

1. 下列三个命题：①圆既是轴对称图形,又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等. 其中是真命题的是(A).
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

答案： 【解析】：
本题考查了圆的基本性质，包括轴对称性、中心对称性，以及垂径定理和圆心角与弧的关系。
①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。这个命题是正确的，因为圆关于任意经过其中心的直线都是轴对称的，同时关于其圆心也是中心对称的。
②垂直于弦的直径平分这条弦。这个命题也是正确的，它是垂径定理的直接应用，即垂直于弦的直径确实会平分这条弦。
③相等圆心角所对的弧相等。这个命题是不完全正确的，因为它缺少了一个重要的前提，即这两个圆心角必须在同一个圆或等圆中。如果两个圆心角不在同一个圆或等圆中，即使它们相等，所对的弧也不一定相等。
【答案】：
A