《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

10. 如图,扇形OBC是圆锥的侧面展开图,圆锥的母线OB= l,底面圆的半径HB= r.
(1)当l= 2r时,求∠BOC的度数；
(2)当l= 3r,l= 4r时,分别求∠BOC的度数；(直接写出结果)
(3)当l= nr(n为大于1的整数)时,猜想∠BOC的度数.(直接写出结果)
]

答案： 【解析】：本题主要考查了圆锥的侧面展开图与底面圆的关系，以及弧长公式的应用。
（1）圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，圆锥的底面周长为$2\pi r$，设$\angle BOC$的度数为$n^{\circ}$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi l}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$l$为半径），已知$l = 2r$，则有$2\pi r=\frac{n\pi× 2r}{180}$，两边同时约去$2\pi r$，可得$1=\frac{n}{180}$，解得$n = 180$，即$\angle BOC = 180^{\circ}$。
（2）当$l = 3r$时，同样根据弧长公式$2\pi r=\frac{n\pi× 3r}{180}$，两边同时约去$\pi r$，得到$2=\frac{n}{60}$，解得$n = 120$，即$\angle BOC = 120^{\circ}$。
当$l = 4r$时，由弧长公式$2\pi r=\frac{n\pi× 4r}{180}$，两边同时约去$\pi r$，可得$2=\frac{n}{45}$，解得$n = 90$，即$\angle BOC = 90^{\circ}$。
（3）当$l = nr$时，根据弧长公式$2\pi r=\frac{n\pi× nr}{180}$，两边同时约去$\pi r$，得到$2=\frac{n^{2}}{180}$，则$n^{2}=360$，因为$n$为圆心角度数，所以$n=\frac{360}{n}$，即$\angle BOC=\frac{360}{n}^{\circ}$。
【答案】：（1）$180^{\circ}$；（2）$120^{\circ}$，$90^{\circ}$；（3）$\frac{360}{n}^{\circ}$

1. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10 cm的圆盘,如图所示,AB位于水平面且平行于CD,BC与水平面的夹角为60°,其中AB= 60 cm,CD= 40 cm,BC= 40 cm.
(1)请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图；
(2)求出此路线的长度.
]

答案：
(1) 示意图：圆心轨迹由三部分组成，在AB段为平行于AB且距离AB为10cm的线段；在BC段为平行于BC且距离BC为10cm的线段；在CD段为平行于CD且距离CD为10cm的线段，三段线段依次连接。
(2) 解：圆盘半径$r = 10\space cm$。
AB段圆心轨迹长：$60\space cm$。
CD段圆心轨迹长：$40\space cm$。
BC段圆心轨迹长：$40\space cm$。
在B处，轨道夹角$60^\circ$，圆心轨迹转角为$180^\circ - 60^\circ=120^\circ=\frac{2\pi}{3}$弧度，过渡圆弧长：$r×\frac{2\pi}{3}=10×\frac{2\pi}{3}=\frac{20\pi}{3}\space cm$。
总路线长：$60 + 40 + 40+\frac{20\pi}{3}=140+\frac{20\pi}{3}\space cm$。
答：此路线的长度为$(140 + \frac{20\pi}{3})\space cm$。