《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

2. 将一边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).[!img]
(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.
①要使折成的长方体盒子的底面积为484$cm^2$,那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有,说明理由.
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子,若折成的一个长方体盒子的表面积为550$cm^2$,求此时长方体盒子的长、宽、高.(只需求出符合要求的一种情况)

答案： 【解析】：
（1）①设剪掉的正方形的边长为$x cm$，
那么，折成的长方体盒子底面是一个边长为$(40 - 2x) cm$的正方形，
根据题意，底面积为$484 cm^2$，
因此，我们有方程：$(40 - 2x)^2 = 484$，
展开并整理得：$1600 - 160x + 4x^2 = 484$，
进一步整理得：$4x^2 - 160x + 1116 = 0$，
除以4得：$x^2 - 40x + 279 = 0$，
通过因式分解或使用求根公式，我们可以得到：$x_1 = 9, x_2 = 31$，
由于$x_2 = 31$不符合实际情况（会导致底面边长为负），所以我们舍去这个解，
所以，剪掉的正方形的边长为$9 cm$。
②设剪掉的正方形的边长为$x cm$，盒子的侧面积为$y cm^2$，
侧面积由四个矩形组成，每个矩形的面积为底边长乘以高，即$(40 - 2x)x$，
所以，侧面积$y = 4(40 - 2x)x = 160x - 8x^2$，
这是一个关于$x$的二次函数，且二次项系数为负，所以函数有最大值，
最大值出现在对称轴上，即$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{160}{-16} = 10$，
将$x = 10$代入$y$的表达式中，得到最大侧面积：$y = 160 × 10 - 8 × 10^2 = 800 cm^2$，
所以，当剪掉的正方形的边长为$10 cm$时，折成的长方体盒子的侧面积有最大值，最大值为$800 cm^2$。
（2）设剪掉的长方形的宽为$x cm$，那么长方体盒子的高为$x cm$，
由于剪掉的长方形有两条边在正方形硬纸板的边上，所以长方体的长和宽会相应减少$2x cm$，
但考虑到有盖，所以长和宽应分别减少两个$x cm$（即$4x cm$的一半，因为两边都剪），
这里我们设长方体盒子的长为$(40 - 2x) cm$，宽为$(20 - x) cm$（因为两边各剪去$x$，所以宽减少$2x$的一半即$x$，但由于有盖，所以实际减少$2x$，但考虑到是从四周剪，所以长和宽各减少两个$x/2$即$x$的“等效”长度，这里直接设为$(20 - x)$是为了方便计算，实际上是从两边各剪去$x/2$的两倍，即$x$），
根据题意，长方体盒子的表面积为$550 cm^2$，
所以，我们有方程：$2(40 - 2x)(20 - x) + 2x(40 - 2x) + 2x(20 - x) = 550$，
展开并整理得：$1600 - 80x - 40x + 2x^2 + 80x - 4x^2 + 40x - 2x^2 = 550$，
进一步整理得：$-4x^2 + 120x + 1600 = 550 × 2$，
即：$-4x^2 + 120x - 500 + 600 - 600 = 0$，
即：$-4x^2 + 120x - 500 = 0$，
除以-4得：$x^2 - 30x + 125 = 0$，
通过因式分解或使用求根公式，且根据常识$x\lt20$，我们可以得到：$x_1 = 5,x_2 = 25$（舍去），
当$x = 5$时，长方体盒子的长为$40 - 2x = 30 cm$，宽为$20 - x = 15 cm$，高为$5 cm$。
【答案】：
（1）①$9 cm$；②有最大值，最大值为$800 cm^2$，此时剪掉的正方形的边长为$10 cm$；
（2）长方体盒子的长为$30 cm$，宽为$15 cm$，高为$5 cm$。