《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

6. 已知 $x_1$,$x_2$ 是一元二次方程 $x^2 - 4x + 1 = 0$ 的两个实数根. 求 $(x_1 + x_2)^2 ÷ (\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2})$ 的值.

答案： 解：对于一元二次方程$x^2 - 4x + 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = -4$，$c = 1$。
由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 1$。
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{4}{1} = 4$。
则$(x_1 + x_2)^2 ÷ (\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}) = 4^2 ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4$。
答案：4

7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (2k + 3)x + k^2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_1$,$x_2$.
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)若 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1$,求 $k$ 的值.

答案： 【解析】：
(1) 要求一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足判别式Δ ＞ 0。
方程为 $x^2 + (2k + 3)x + k^2 = 0$，其中 $a=1$，$b=2k+3$，$c=k^2$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (2k+3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k^2$。
展开并化简：
$\Delta = 4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 = 12k + 9$。
由 $\Delta ＞ 0$ 得 $12k + 9 ＞ 0$，解得 $k ＞ -\frac{3}{4}$。
(2) 根据根与系数关系，$x_1 + x_2 = -(2k + 3)$，$x_1 x_2 = k^2$。
由 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1$，通分得 $\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = -1$。
代入根与系数关系：
$\frac{-(2k + 3)}{k^2} = -1$，
化简得 $2k + 3 = k^2$，即 $k^2 - 2k - 3 = 0$。
因式分解得 $(k - 3)(k + 1) = 0$，解得 $k = 3$ 或 $k = -1$。
结合
(1) 中 $k ＞ -\frac{3}{4}$，舍去 $k = -1$，故 $k = 3$。
【答案】：
(1) $k$ 的取值范围是 $k ＞ -\frac{3}{4}$；
(2) $k$ 的值为 $\boxed{3}$。

1. 若关于 $x$ 的方程 $x^2 - x + a = 0$ 有实数根,则 $a$ 的值可以是(D).
A.$2$
B.$1.5$
C.$1$
D.$0.25$

答案： 【解析】：
主要考察一元二次方程实数根的判别式的运用。
一元二次方程的形式为$ax^2+bx+c=0$，它的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
如果$\Delta\geq 0$，则该一元二次方程有实数根。
否则，该一元二次方程没有实数根。
该方程为一元二次方程，因此$a=1，b=-1，c=a$。
计算判别式$\Delta$，得到$\Delta=(-1)^2-4×1× a=1-4a$。
要求方程有实数根，则$\Delta\geq 0$，即$1-4a\geq 0$。
解不等式，得到$a\leq 0.25$。
根据选项，可以看出只有选项D（$a=0.25$）满足条件。
【答案】：
D。

2. 已知函数 $y = kx + b$ 的图象如图所示,则一元二次方程 $x^2 + x + k - 1 = 0$ 根的存在情况是(C).

A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： 【解析】：本题可根据一次函数图象确定$k$的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta\lt0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 + x + k - 1 = 0$中，$a = 1$，$b = 1$，$c = k - 1$，则$\Delta = 1^2 - 4×1×(k - 1)=1 - 4k + 4 = 5 - 4k$。
由一次函数$y = kx + b$的图象可知，函数图象从左到右下降，所以$k\lt0$。
因为$k\lt0$，所以$-4k\gt0$，则$5 - 4k\gt0$，即$\Delta\gt0$。
所以一元二次方程$x^2 + x + k - 1 = 0$有两个不相等的实数根。
【答案】：C。

3. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + bx + c = 0$ 的两根分别是 $x_1 = \sqrt{2} + 1$,$x_2 = \sqrt{2} - 1$,则(D).
A.$b = 2\sqrt{2}$,$c = 1$
B.$b = 2\sqrt{2}$,$c = -1$
C.$b = -2\sqrt{2}$,$c = -1$
D.$b = -2\sqrt{2}$,$c = 1$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
根的和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
根的积：$x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$，
由于方程 $x^2 + bx + c = 0$ 的系数 $a = 1$，可以得到：
$x_1 + x_2 = -b$，
$x_1 × x_2 = c$，
将给定的两根 $x_1 = \sqrt{2} + 1$ 和 $x_2 = \sqrt{2} - 1$ 代入上述公式，得到：
$b = -(x_1 + x_2) = -(\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1) = -2\sqrt{2}$，
$c = x_1 × x_2 = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 2 - 1 = 1$，
所以，$b = -2\sqrt{2}$，$c = 1$。
【答案】：D. $b = -2\sqrt{2}$，$c = 1$。

4. 当 $b + c = 5$ 时,关于 $x$ 的一元二次方程 $3x^2 + bx - c = 0$ 的根的情况为(A).
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式，即$\Delta = b^{2} - 4ac$。
首先，将给定的条件$b + c = 5$，变形为$c = 5 - b$。
然后，将$c = 5 - b$代入一元二次方程$3x^{2} + bx - c = 0$的判别式中，即计算$\Delta = b^{2} - 4 × 3 × (-c)$。
代入$c = 5 - b$，得到：
$\Delta = b^{2} - 4 × 3 × [-(5 - b)]$
$= b^{2} + 12 × (5 - b)$
$= b^{2} - 12b + 60$
$= (b - 6)^{2} + 24$
由于$(b - 6)^{2}$的值总是大于等于0，所以$(b - 6)^{2} + 24$的值总是大于0。
因此，判别式$\Delta ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
A.有两个不相等的实数根。