《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

4. 一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮如图所示,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24$cm^2$的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为2cm.[!img]

答案： 【解析】：
本题可根据长方体底面积与长方体长、宽的关系列出方程，进而求解剪去的正方形的边长。
设剪去的正方形的边长为$x cm$。
步骤一：分析长方体底面的长和宽
观察图形可知，长方体底面的长为$(12 - 2x)cm$，底面的宽为$(10 - 2x)÷2=(5 - x)cm$。
步骤二：根据长方体底面积列出方程
已知长方体底面积是$24cm^2$，根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可列出方程$(12 - 2x)(5 - x) = 24$。
步骤三：解方程
将方程$(12 - 2x)(5 - x) = 24$展开可得：
$60-12x - 10x + 2x^2 = 24$
移项化为一元二次方程的一般形式为：
$2x^2 - 22x + 60 - 24 = 0$
即$2x^2 - 22x + 36 = 0$
两边同时除以$2$得：
$x^2 - 11x + 18 = 0$
因式分解为$(x - 2)(x - 9) = 0$
则$x - 2 = 0$或$x - 9 = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 9$。
步骤四：检验方程的解
因为矩形铁皮的宽是$10cm$，当$x = 9$时，$10 - 2x = 10 - 2×9 = -8\lt0$，不符合实际情况，应舍去。
当$x = 2$时，$12 - 2x = 12 - 2×2 = 8\gt0$，$10 - 2x = 10 - 2×2 = 6\gt0$，符合实际情况。
【答案】：$2$

5. 填空：$2x^{2}+x+$($\frac{1}{8}$)$=2(x+$______$\frac{1}{4}$$)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式的应用。
首先，我们将右侧的式子展开：
$2(x+p)^{2} = 2(x^{2} + 2px + p^{2}) = 2x^{2} + 4px + 2p^{2}$
与左侧的式子对比，我们有：
$2x^{2} + x + 空白1 = 2x^{2} + 4px + 2p^{2}$
对比$x$的系数，我们得到：
$4p = 1 \implies p = \frac{1}{4}$
将$p$的值代入上述式子，我们得到：
$2p^{2} = 2 \left( \frac{1}{4} \right)^{2} = \frac{1}{8}$
所以，空白1应填$\frac{1}{8}$，空白2应填$\frac{1}{4}$。
【答案】：
空白1填$\frac{1}{8}$；空白2填$\frac{1}{4}$。

6. 某跳水运动员从10 m高台上跳水,她每一时刻所在高度$h$(单位：m)与所用时间$t$(单位：s)的关系是$h= -5(t-2)(t+1)$,她从起跳到入水所用的时间是2 s.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的求解。
题目给出了跳水运动员的高度与时间的关系式 $h = -5(t-2)(t+1)$，
当跳水运动员入水时，其高度 $h = 0$。
因此，我们需要解方程 $-5(t-2)(t+1) = 0$ 来找出运动员入水的时间。
首先，我们展开方程：
$-5(t-2)(t+1) = -5(t^2 - t - 2) = 0$，
进一步化简得：
$t^2 - t - 2 = 0$，
这是一个一元二次方程，我们可以通过因式分解法来解这个方程：
$(t-2)(t+1) = 0$，
解得 $t_1 = 2, t_2 = -1$。
由于时间不能为负，所以 $t_2 = -1$ 不符合实际情况，需要舍去。
因此，跳水运动员从起跳到入水所用的时间是 $t = 2s$。
【答案】：
$2 s$

7. 用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为$(x^{2}+17)$cm,正六边形的边长为$(x^{2}+2x)$cm(其中$x＞0$). 求这两段铁丝的总长.[!img]

答案： 【解析】：
本题考查的知识点为一元二次方程的实际应用，解题关键在于根据正五边形和正六边形的周长相等列出方程。
首先，根据正五边形的周长公式$C = 5×边长$，可得正五边形的周长为$5(x^{2}+17)$cm。
然后，根据正六边形的周长公式$C = 6×边长$，可得正六边形的周长为$6(x^{2}+2x)$cm。
因为两段铁丝等长，即正五边形和正六边形的周长相等，所以可列出方程$5(x^{2}+17)=6(x^{2}+2x)$。
接着，对该方程进行求解：
展开方程左边得$5x^{2}+85$，展开方程右边得$6x^{2}+12x$，则原方程变为$5x^{2}+85 = 6x^{2}+12x$。
移项可得$6x^{2}+12x - 5x^{2}-85 = 0$，合并同类项得$x^{2}+12x - 85 = 0$。
对于一元二次方程$x^{2}+12x - 85 = 0$，可使用因式分解法，将其分解为$(x - 5)(x + 17)=0$。
则$x - 5 = 0$或$x + 17 = 0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-17$。
因为题目中$x\gt0$，所以舍去$x_{2}=-17$，取$x = 5$。
最后，求两段铁丝的总长，可先求出正五边形的周长（即一段铁丝的长度），再乘以$2$。
当$x = 5$时，正五边形的边长为$x^{2}+17 = 5^{2}+17 = 25 + 17 = 42$cm。
那么正五边形的周长为$5×42 = 210$cm，所以两段铁丝的总长为$2×210 = 420$cm。
【答案】：
解：根据题意，得$5(x^{2}+17)=6(x^{2}+2x)$，
展开得$5x^{2}+85 = 6x^{2}+12x$，
移项得$6x^{2}+12x - 5x^{2}-85 = 0$，
合并同类项得$x^{2}+12x - 85 = 0$，
因式分解得$(x - 5)(x + 17)=0$，
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-17$（舍去）。
当$x = 5$时，正五边形边长为$x^{2}+17 = 42$cm，
一段铁丝长为$5×42 = 210$cm，
两段铁丝总长为$2×210 = 420$cm。
答：这两段铁丝的总长为$420$cm。

8. 某农产品专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100 kg,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20 kg. 若该专卖店销售这种核桃想平均每天获利2240元,请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下,要让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售？

答案：
(1)解：设每千克核桃应降价$x$元。
$(60 - x - 40)(100 + \frac{20}{2}x) = 2240$
$(20 - x)(100 + 10x) = 2240$
$2000 + 200x - 100x - 10x^2 = 2240$
$-10x^2 + 100x + 2000 - 2240 = 0$
$-10x^2 + 100x - 240 = 0$
$x^2 - 10x + 24 = 0$
$(x - 4)(x - 6) = 0$
$x - 4 = 0$或$x - 6 = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 6$
答：每千克核桃应降价4元或6元。
(2)解：由
(1)知每千克核桃可降价4元或6元。要让利于顾客，则选择降价6元。此时售价为$60 - 6 = 54$元。
$\frac{54}{60} × 10 = 9$
答：该店应按原售价的九折出售。