《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

8. 在关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}x+2y= a, \\ 2x-y= 1\end{cases} $中.
(1)若$a= 3$,求方程组的解.
(2)若$S= a(3x+y)$,当$a$为何值时,$S$有最小值？是多少?

答案： 【解析】：
(1) 要求解二元一次方程组，首先可以通过消元法或者代入法来求解。当$a = 3$时，方程组变为：
$\begin{cases}x + 2y = 3, \\2x - y = 1.\end{cases}$
可以通过将第二个方程乘以2，然后与第一个方程相加，消去$y$，从而求解$x$，再代入求得$y$。
(2) 对于$S = a(3x + y)$，需要先解出$x$和$y$与$a$的关系，然后代入$S$的表达式中，通过整理得到一个关于$a$的二次函数，再根据二次函数的性质求$S$的最小值。
【答案】：
(1) 解：
当$a = 3$时，方程组为
$\begin{cases}x + 2y = 3, \\2x - y = 1.\end{cases}$
将第二个方程乘以2得：$4x - 2y = 2$，与第一个方程相加，得：$5x = 5$，解得$x = 1$。
将$x = 1$代入第二个方程得：$2 × 1 - y = 1$，解得$y = 1$。
所以，方程组的解为
$\begin{cases}x = 1, \\y = 1.\end{cases}$
(2) 解：
由方程组
$\begin{cases}x + 2y = a, \\2x - y = 1.\end{cases}$
解得$x = \frac{a + 2}{5}$，$y = \frac{2a - 1}{5}$。
代入$S = a(3x + y)$得：
$S = a \left( 3 × \frac{a + 2}{5} + \frac{2a - 1}{5} \right) = a(a + 1) = a^{2} + a = \left( a + \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{4}$
由于这是一个开口向上的二次函数，其最小值出现在对称轴上，即$a = -\frac{1}{2}$，此时$S_{最小} = -\frac{1}{4}$。

1. 已知抛物线$y= mx^2-3x+m^2-4$的开口向上,且抛物线经过原点,则$m$的值为2.

答案： 解：因为抛物线开口向上，所以$m ＞ 0$。
因为抛物线经过原点$(0,0)$，代入得$0 = m^2 - 4$，解得$m = 2$或$m = -2$。
又因为$m ＞ 0$，所以$m = 2$。
答案：$2$

2. 已知二次函数$y= x^2+bx+c$,当$x= 2$时,$y= 0$；当$x= -1$时,$y= 3$,则这个二次函数的解析式为$y=x^2 - 2x$.

答案： 解：将$x=2$，$y=0$和$x=-1$，$y=3$分别代入$y=x^2+bx+c$，得
$\begin{cases}2^2 + 2b + c = 0 \\(-1)^2 + (-1)b + c = 3\end{cases}$
化简得
$\begin{cases}4 + 2b + c = 0 \\1 - b + c = 3\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$c$：
$(4 + 2b + c) - (1 - b + c) = 0 - 3$
$4 + 2b + c - 1 + b - c = -3$
$3 + 3b = -3$
$3b = -6$
$b = -2$
将$b=-2$代入$1 - b + c = 3$：
$1 - (-2) + c = 3$
$1 + 2 + c = 3$
$3 + c = 3$
$c = 0$
所以二次函数的解析式为$y=x^2 - 2x$。
$y=x^2 - 2x$

3. 抛物线的顶点在原点,且过点$(3,-27)$,则这条抛物线的解析式为$y = -3x^2$.

答案： 解：设抛物线的解析式为$y = ax^2$。
因为抛物线过点$(3, -27)$，所以将$x = 3$，$y = -27$代入解析式得：$-27 = a × 3^2$，即$9a = -27$，解得$a = -3$。
所以抛物线的解析式为$y = -3x^2$。
$y = -3x^2$

4. 已知二次函数的图象如右图所示.
(1)这个二次函数的解析式是y=x²-2x；
(2)根据图象回答：当x＜0或x＞2时,$y＞0$.

答案：
(1)解：由图可知二次函数与x轴交于点(0,0)和(2,0)，
设二次函数解析式为y=ax(x-2)，
∵函数图象过点(1,-1)，
∴-1=a×1×(1-2)，
解得a=1，
∴二次函数解析式为y=x(x-2)=x²-2x。
(2)由图象可知，当x＜0或x＞2时，y＞0。
(1)y=x²-2x；
(2)x＜0或x＞2

5. 已知二次函数$y= x^2+bx-2的图象与x轴的一个交点为(1,0)$,则它与$x$轴的另一个交点坐标是((-2,0))。
A.$(1,0)$
B.$(2,0)$
C.$(-2,0)$
D.$(-1,0)$

答案： 解：因为二次函数$y = x^2 + bx - 2$的图象与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，所以将$x=1$，$y=0$代入函数得：$0 = 1^2 + b×1 - 2$，即$1 + b - 2 = 0$，解得$b = 1$。所以二次函数的解析式为$y = x^2 + x - 2$。令$y = 0$，则$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x + 2)(x - 1) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -2$。所以它与$x$轴的另一个交点坐标是$(-2,0)$。
C

6. 已知二次函数图象经过$(1,0)$,$(2,0)和(0,2)$三点,则该函数的解析式是(B)。
A.$y= 2x^2+x+2$
B.$y= x^2-3x+2$
C.$y= x^2+3x+2$
D.$y= x^2-2x+3$

答案： 解：设二次函数解析式为$y = ax^2 + bx + c$。
将$(1,0)$，$(2,0)$，$(0,2)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \\4a + 2b + c = 0 \\c = 2\end{cases}$
将$c = 2$代入前两式：
$\begin{cases}a + b = -2 \\4a + 2b = -2\end{cases}$
由第一个方程得$b = -2 - a$，代入第二个方程：
$4a + 2(-2 - a) = -2$
$4a - 4 - 2a = -2$
$2a = 2$
$a = 1$
则$b = -2 - 1 = -3$
所以函数解析式为$y = x^2 - 3x + 2$
答案：B