《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

7. 若关于x的方程$(a - 6)x^2 - 8x + 6 = 0$有实数根,那么整数a的最大值是8.

答案： 解：当$a - 6 = 0$，即$a = 6$时，方程为$-8x + 6 = 0$，解得$x = \frac{3}{4}$，有实数根。
当$a - 6 \neq 0$，即$a \neq 6$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = (-8)^2 - 4(a - 6)×6 \geq 0$，
$64 - 24(a - 6) \geq 0$，
$64 - 24a + 144 \geq 0$，
$-24a \geq -208$，
$a \leq \frac{26}{3} \approx 8.666$。
综上，$a \leq \frac{26}{3}$，整数$a$的最大值是$8$。
8

8. 若方程$x^2 + kx + 9 = 0$有两个相等的实数根,则k$\pm 6$.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的判别式知识点。对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
当方程有两个相等的实数根时，判别式 $\Delta = 0$。
在本题中，方程为 $x^2 + kx + 9 = 0$，其中 $a = 1, b = k, c = 9$。
根据判别式为0的条件，可以列出方程 $k^2 - 4 × 1 × 9 = 0$，
即 $k^2 - 36 = 0$。
解这个方程，得到 $k^2 = 36$，
进一步解得 $k = \pm 6$。
【答案】：
$k = \pm 6$

9. 用公式法解下列一元二次方程：
(1)$2x^2 - 3x + 1 = 0$；
(2)$4x(x + 4) = 2$.

答案： 【解析】：
本题考查的是使用公式法解一元二次方程。公式法即使用一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$来求解方程的根。
(1) 对于方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$，可以直接代入求根公式进行计算。
(2) 对于方程$4x(x + 4) = 2$，需要先将其化为标准形式$ax^2+bx+c=0$，即$4x^2 + 16x - 2 = 0$，然后再代入求根公式进行计算。
【答案】：
(1) 解：
对于方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
$a = 2$，$b = -3$，$c = 1$，
首先计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 2 × 1 = 9 - 8 = 1$，
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$
所以，$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$。
(2) 解：
对于方程$4x(x + 4) = 2$，
首先将其化为标准形式：$4x^2 + 16x - 2 = 0$，
此时，$a = 4$，$b = 16$，$c = -2$，
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 × 4 × (-2) = 256 + 32 = 288$，
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 \pm \sqrt{288}}{8} = \frac{-16 \pm 12\sqrt{2}}{8} = \frac{-4 \pm 3\sqrt{2}}{2}$
所以，$x_1 = \frac{-4 + 3\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = \frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2}$。

10. 已知,关于x的一元二次方程$(x - 1)(x - 4) = p^2$,p为实数.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)当p为何值时,方程有整数解？(直接写出三个p值,不需说明理由)

答案： 【解析】：
(1)首先，我们将原方程$(x - 1)(x - 4) = p^2$展开并整理为一般形式：
$x^2 - 5x + 4 - p^2 = 0$
接着，我们计算判别式$\Delta$：
$\Delta = (-5)^2 - 4 × 1 × (4 - p^2) = 25 - 16 + 4p^2 = 9 + 4p^2$
由于$p^2$总是非负的，所以$4p^2 \geq 0$，进而有$\Delta = 9 + 4p^2 ＞ 0$。
因此，方程有两个不相等的实数根。
(2)为了找到使方程有整数解的$p$值，我们可以考虑方程的解的形式。
使用求根公式，我们可以得到方程的解为：
$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 + 4p^2}}{2}$
为了使$x$为整数，根号内的值必须是完全平方数，且分子（即$5 \pm \sqrt{}$）的结果必须是偶数（因为分母为2）。
通过观察和尝试，我们可以找到满足条件的$p$值。
例如，当$p = 0$时，方程变为$x^2 - 5x + 4 = 0$，解得$x = 1$或$x = 4$，均为整数。
当$p = 2$或$p = -2$时，我们也可以找到相应的整数解（通过代入和求解）。
因此，满足条件的$p$值可以是$0, 2, -2$（答案不唯一）。
【答案】：
(1)证明见解析，方程有两个不相等的实数根。
(2)当$p = 0, 2, -2$时，方程有整数解（答案不唯一）。

1. 方程$(x-3)(x+1)= x-3$的解是(D).
A.$x= 0$
B.$x= 3$
C.$x= 3或x= -1$
D.$x= 3或x= 0$

答案： 【解析】：
首先，我们将原方程$(x-3)(x+1)= x-3$进行移项，得到$(x-3)(x+1) - (x-3) = 0$，
然后，我们对左边的表达式进行因式分解，提取公因式$(x-3)$，得到$(x-3)(x+1-1) = 0$，
即$(x-3)x = 0$，
由此，我们可以得到两个方程$x-3 = 0$或$x = 0$，
解这两个方程，我们得到$x = 3$或$x = 0$。
【答案】：
D. $x= 3$或$x= 0$。

2. 一元二次方程$x(x-2)= 2-x$的根是(D).
A.$-1$
B.$0$
C.$1和2$
D.$-1和2$

答案： 解：$x(x-2)=2-x$
移项，得$x(x-2)+(x-2)=0$
因式分解，得$(x-2)(x+1)=0$
则$x-2=0$或$x+1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$
D

3. 已知$x= 2是关于x的方程x^2-2mx+3m= 0$的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形$ABC$的两条边长,则三角形$ABC$的周长为(B).
A.$10$
B.$14$
C.$10或14$
D.$8或10$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的求解以及等腰三角形的性质。
首先，将$x = 2$代入方程$x^2 - 2mx + 3m = 0$，得到：
$2^2 - 2m × 2 + 3m = 0$，
$4 - 4m + 3m = 0$，
解得$m = 4$。
将$m = 4$代入原方程，得到：
$x^2 - 8x + 12 = 0$，
因式分解得：
$(x - 2)(x - 6) = 0$，
解得$x_1 = 2, x_2 = 6$。
接下来，考虑等腰三角形的性质。
当腰长为$2$时，此时三角形的三边长为$2$，$2$，$6$。
由于$2 + 2 ＜ 6$，不满足三角形的三边关系，所以这种情况不成立。
当腰长为$6$时，此时三角形的三边长为$6$，$6$，$2$。
这满足三角形的三边关系，因此周长为$6 + 6 + 2 = 14$。
【答案】：
B. $14$。

4. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“相邻方程”. 例如$x^2= 9和(x-2)(x+3)= 0有且只有一个相同的实数根x= -3$,所以这两个方程为“相邻方程”. 若关于$x的方程ax^2+bx+c= 0(a≠0)的系数同时满足a+b+c= 0和a-b+c= 0$,且该方程与$(x+5)(x-n)= 0$为“相邻方程”,则$n= $1或-1.

答案： 解：
∵关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$满足$a + b + c = 0$和$a - b + c = 0$，
∴当$x = 1$时，$a×1^2 + b×1 + c = a + b + c = 0$；当$x = -1$时，$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c = 0$，
∴方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$。
方程$(x + 5)(x - n) = 0$的根为$x_3 = -5$，$x_4 = n$。
∵两方程为“相邻方程”，即有且只有一个相同的实数根，
∴分两种情况：
① 相同根为$1$时，$n = 1$，此时两方程根分别为$1, -1$和$-5, 1$，符合题意；
② 相同根为$-1$时，$n = -1$，此时两方程根分别为$1, -1$和$-5, -1$，符合题意；
③ 若相同根为$-5$，则方程$ax^2 + bx + c = 0$需有根$-5$，但该方程根为$1$和$-1$，矛盾，故舍去。
综上，$n = 1$或$n = -1$。
$n = 1$或$-1$