《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

4. 如图,已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°,弧长为6π的扇形,则圆锥的高h为(C).

A.9
B.3√3
C.6√2
D.3√10
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答案： 【解析】：
本题可先根据扇形的弧长公式求出圆锥底面半径，再结合扇形圆心角和弧长求出母线长，最后利用圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，通过勾股定理求出圆锥的高。
步骤一：求圆锥底面半径$r$。
圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，已知扇形弧长为$6\pi$，设圆锥底面半径为$r$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$（$C$为周长），可得$2\pi r = 6\pi$，两边同时除以$2\pi$，解得$r = 3$。
步骤二：求圆锥母线长$l$。
设圆锥母线长为$l$，已知扇形圆心角为$120^{\circ}$，弧长为$6\pi$，根据扇形弧长公式$L=\frac{n\pi l}{180}$（$L$为弧长，$n$为圆心角度数，$l$为扇形所在圆的半径，这里扇形所在圆半径就是圆锥母线长），可得$\frac{120\pi l}{180}=6\pi$，两边同时乘以$\frac{180}{120\pi}$，解得$l = 9$。
步骤三：求圆锥的高$h$。
圆锥的母线、底面半径与高构成一个以母线为斜边的直角三角形，根据勾股定理$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$（$h$为圆锥高，$l$为母线长，$r$为底面半径），将$l = 9$，$r = 3$代入可得：
$h=\sqrt{9^{2}-3^{2}}=\sqrt{81 - 9}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
【答案】：C

5. 如果一个圆锥的主视图是正三角形,则其侧面展开图的圆心角为(180°).
A.120°
B.156°
C.180°
D.208°

答案： 解：设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$。
因为圆锥的主视图是正三角形，所以$l = 2r$。
圆锥底面周长为$2\pi r$，侧面展开图扇形的弧长等于底面周长，即$2\pi r$。
侧面展开图扇形的半径为母线长$l = 2r$，设圆心角为$n^{\circ}$。
根据扇形弧长公式$\frac{n\pi l}{180}=2\pi r$，代入$l = 2r$，得$\frac{n\pi \cdot 2r}{180}=2\pi r$。
解得$n = 180$。
答案：C

6. 在△ABC中,∠C= 90°,AC= 12,BC= 5,现在以AC为轴旋转一周得到一个圆锥,则该圆锥的表面积为(90π).
A.130π
B.90π
C.25π
D.65π

答案： 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5。
由勾股定理得：AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$。
以AC为轴旋转一周得到圆锥，底面半径r=BC=5，母线长l=AB=13。
圆锥侧面积$S_{侧}=πrl=π×5×13=65π$。
圆锥底面积$S_{底}=πr^{2}=π×5^{2}=25π$。
圆锥表面积$S=S_{侧}+S_{底}=65π+25π=90π$。
答案：B

7. 如果圆锥的底面圆的半径是8,母线长是15,求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数.

答案： 解：圆锥底面圆的周长为$2\pi r = 2\pi×8 = 16\pi$。
圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，设扇形圆心角的度数为$n^\circ$，母线长为扇形半径$R = 15$。
由扇形弧长公式$\frac{n\pi R}{180} = 16\pi$，即$\frac{n\pi×15}{180} = 16\pi$。
解得$n = \frac{16\pi×180}{15\pi} = 192$。
答：这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为$192^\circ$。

8. 将半径为3 cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,求这个圆锥的高.
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答案： 解：过点O作OC⊥AB于点C，交劣弧AB于点D，由折叠性质得OC=CD=1/2OD=1.5cm。
在Rt△OAC中，OA=3cm，OC=1.5cm，cos∠AOC=OC/OA=1/2，
∴∠AOC=60°，∠AOB=2∠AOC=120°。
阴影部分扇形的圆心角为360°-120°=240°，其弧长为(240×π×3)/180=4π cm。
设圆锥底面半径为r，2πr=4π，解得r=2cm。
圆锥的高h=√(3²-2²)=√5 cm。
答：这个圆锥的高为√5 cm。