《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 已知直角三角形两条直角边的和为8,两条直角边各是多少时,这个三角形的面积最大？最大值是多少？

答案： 解：设一条直角边为$x$，则另一条直角边为$8 - x$，三角形面积为$S$。
根据三角形面积公式，得$S=\frac{1}{2}x(8 - x)$，
整理得$S=-\frac{1}{2}x^{2}+4x$。
$\because a=-\frac{1}{2}\lt0$，
$\therefore$抛物线开口向下，$S$有最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-\frac{1}{2})}=4$时，$S$取得最大值。
此时另一条直角边为$8 - 4=4$。
最大值$S_{最大}=-\frac{1}{2}×4^{2}+4×4=8$。
答：两条直角边均为4时，三角形面积最大，最大值是8。

2. 一次足球训练中,小明从球门前方8 m的$A$处射门,球射向球门的路线呈抛物线. 当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m. 已知球门高$OB$为2.4 m,现以$O$为原点建立如图所示直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点$O$正上方2.25 m处？

答案：
(1)解：由题意知抛物线顶点坐标为$(6,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-6)^2+3$。
因为点$A(8,0)$在抛物线上，代入得$0=a(8-6)^2+3$，即$4a+3=0$，解得$a=-\frac{3}{4}$。
所以抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-6)^2+3$。
球门在$x=0$处，当$x=0$时，$y=-\frac{3}{4}(0-6)^2+3=-\frac{3}{4}×36+3=-27+3=-24$（此结果错误，应为计算错误）。
重新计算：$y=-\frac{3}{4}(0-6)^2+3=-\frac{3}{4}×36+3=-27+3=-24$，显然不符合实际，正确应为：
$y=-\frac{3}{4}(x-6)^2+3$，当$x=0$时，$y=-\frac{3}{4}×36+3=-27+3=-24$（错误，应为题目理解错误，点$A$应为$(8,0)$，顶点在$A$左侧6米，即顶点横坐标为$8-6=2$，所以顶点坐标为$(2,3)$）。
更正：顶点坐标为$(2,3)$，设$y=a(x-2)^2+3$，将$A(8,0)$代入得$0=a(8-2)^2+3$，$36a+3=0$，$a=-\frac{1}{12}$。
则解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
当$x=0$时，$y=-\frac{1}{12}(0-2)^2+3=-\frac{1}{12}×4+3=-\frac{1}{3}+3=\frac{8}{3}\approx2.67$。
因为$\frac{8}{3}\approx2.67\gt2.4$，所以球不能射进球门。
(2)解：设移动后射门点为$A'(t,0)$，抛物线形状和最大高度不变，顶点坐标为$(t-6,3)$，解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-(t-6))^2+3$。
因为足球经过点$(0,2.25)$，代入得$2.25=-\frac{1}{12}(0-(t-6))^2+3$，即$-\frac{1}{12}(t-6)^2=2.25-3=-0.75$，$(t-6)^2=9$，$t-6=\pm3$，$t=9$或$t=3$。
因为是向正后方移动，$t\gt8$，所以$t=9$，移动距离为$9-8=1$米。
答：
(1)球不能射进球门；
(2)应向后移动1米。

3. 如图,矩形$ABCD的边长AB= 3\ cm$,$AD= 16\ cm$,点$P$,$Q分别从点A$,$D$同时出发,点$P在边AD上沿AD$方向以2 cm/s的速度匀速运动,点$Q在边CD上沿DC$方向以1 cm/s的速度匀速运动,设运动时间为$x\ s$,$\triangle PDQ的面积为y\ cm^2$.
(1)求$y关于x$的函数解析式,并写出$x$的取值范围；
(2)求$\triangle PDQ$面积的最大值.

答案：
(1) 解：由题意得，$AP=2x\ cm$，$DQ=x\ cm$
$\because AD=16\ cm$
$\therefore PD=AD-AP=16-2x\ cm$
$\triangle PDQ$的面积$y=\frac{1}{2}\cdot PD\cdot DQ=\frac{1}{2}(16-2x)x=-x^2+8x$
$\because$ 点$P$在$AD$上运动，$Q$在$CD$上运动
$\therefore \begin{cases} 16-2x\geq0 \\ x\leq3 \end{cases}$，解得$0\leq x\leq3$
$\therefore y=-x^2+8x(0\leq x\leq3)$
(2) 解：$y=-x^2+8x=-(x-4)^2+16$
$\because a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=4$
$\because 0\leq x\leq3$，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大
$\therefore$ 当$x=3$时，$y_{max}=-(3-4)^2+16=15$
即$\triangle PDQ$面积的最大值为$15\ cm^2$