《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

7. 在下列条件下,分别求二次函数的解析式.
(1)已知抛物线$y= ax^2+bx+c与y= -3x^2$形状相同,开口方向相反,顶点坐标为$(-2,4)$；
(2)当$x= 3$时,最小值$y= 5$,且过点$(1,11)$；
(3)对称轴为$y$轴,且经过点$(2,3)$,$(-1,6)$.

答案：
(1)解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$与$y=-3x^2$形状相同，开口方向相反，
∴$a=3$，
∵顶点坐标为$(-2,4)$，
∴抛物线解析式为$y=3(x+2)^2+4$，
即$y=3x^2+12x+16$。
(2)解：
∵当$x=3$时，最小值$y=5$，
∴抛物线顶点坐标为$(3,5)$，且$a＞0$，
设抛物线解析式为$y=a(x-3)^2+5$，
∵抛物线过点$(1,11)$，
∴$11=a(1-3)^2+5$，
$11=4a+5$，
$4a=6$，
$a=\frac{3}{2}$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{3}{2}(x-3)^2+5$，
即$y=\frac{3}{2}x^2-9x+\frac{37}{2}$。
(3)解：
∵对称轴为$y$轴，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，
∵抛物线经过点$(2,3)$，$(-1,6)$，
∴$\begin{cases}4a+c=3\\a+c=6\end{cases}$，
两式相减得$3a=-3$，$a=-1$，
将$a=-1$代入$a+c=6$，得$c=7$，
∴抛物线解析式为$y=-x^2+7$。

8. 二次函数$y= ax^2+bx+c的图象与x轴交于A$,$B$两点,且点$A的坐标为(1,0)$,与$y轴交于点C$,其顶点$D的坐标为(-3,2)$.
(1)求二次函数的解析式；
(2)求$\triangle BCD$的面积.

答案：
(1)设二次函数的解析式为$y=a(x+3)^2+2$，
将$A(1,0)$代入得$0=a(1+3)^2+2$，
$16a+2=0$，
$16a=-2$，
$a=-\dfrac{1}{8}$，
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{8}(x+3)^2+2$，
即$y=-\dfrac{1}{8}x^2-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{8}$。
(2)令$y=0$，则$-\dfrac{1}{8}(x+3)^2+2=0$，
$(x+3)^2=16$，
$x+3=\pm4$，
$x_1=1$，$x_2=-7$，
$\therefore B(-7,0)$。
令$x=0$，则$y=-\dfrac{1}{8}(0+3)^2+2=-\dfrac{9}{8}+2=\dfrac{7}{8}$，
$\therefore C\left(0,\dfrac{7}{8}\right)$。
过$D(-3,2)$作$DE\perp x$轴于$E$，则$E(-3,0)$，
$S_{\triangle BCD}=S_{梯形DEOC}+S_{\triangle BDE}-S_{\triangle BOC}$，
$S_{梯形DEOC}=\dfrac{1}{2}×\left(2+\dfrac{7}{8}\right)×3=\dfrac{1}{2}×\dfrac{23}{8}×3=\dfrac{69}{16}$，
$S_{\triangle BDE}=\dfrac{1}{2}×(-3+7)×2=\dfrac{1}{2}×4×2=4=\dfrac{64}{16}$，
$S_{\triangle BOC}=\dfrac{1}{2}×7×\dfrac{7}{8}=\dfrac{49}{16}$，
$\therefore S_{\triangle BCD}=\dfrac{69}{16}+\dfrac{64}{16}-\dfrac{49}{16}=\dfrac{84}{16}=\dfrac{21}{4}$。

1. 已知抛物线$y= ax^2+bx-3(a\neq0)经过点(-2,5)$,它的对称轴是直线$x= 1$,则这条抛物线的函数解析式是$y=x^2 - 2x - 3$.

答案： 解：因为抛物线$y=ax^2 + bx - 3$的对称轴是直线$x=1$，所以$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。
又因为抛物线经过点$(-2,5)$，所以把$x=-2$，$y=5$代入抛物线解析式得：
$a×(-2)^2 + b×(-2) - 3 = 5$
$4a - 2b - 3 = 5$
$4a - 2b = 8$
将$b=-2a$代入$4a - 2b = 8$得：
$4a - 2×(-2a) = 8$
$4a + 4a = 8$
$8a = 8$
$a=1$
则$b=-2a=-2×1=-2$
所以抛物线的函数解析式是$y=x^2 - 2x - 3$。
答案：$y=x^2 - 2x - 3$

2. 在二次函数$y= -x^2+2x+1$的图象中,若$y随x$的增大而增大,则$x$的取值范围是$x\lt1$.

答案： 解：对于二次函数$y = -x^2 + 2x + 1$，其中$a=-1$，$b=2$。
对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2×(-1)} = 1$。
因为$a=-1\lt0$，抛物线开口向下，所以当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而增大。
故$x$的取值范围是$x\lt1$。

3. 抛物线经过点$(-2,6)和(4,6)$,则抛物线的对称轴是直线$x=1$.

答案： 解：因为抛物线经过点$(-2,6)$和$(4,6)$，这两点的纵坐标相等，所以这两点关于抛物线的对称轴对称。
抛物线对称轴为直线$x = \frac{-2 + 4}{2} = 1$。
答案：直线$x=1$

4. 已知二次函数$y= x^2+2mx+2$,当$x＞2$时,$y随x$值的增大而增大,则实数$m$的取值范围是$m\geq -2$.

答案： 解：二次函数$y=x^2 + 2mx + 2$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2}=-m$。
因为$a=1＞0$，抛物线开口向上，当$x\geq -m$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$-m\leq 2$，解得$m\geq -2$。
故实数$m$的取值范围是$m\geq -2$。