《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 有一种银行存款按复利计算,即一期到期后,将本期的利息计入下一期的本金. 若期数以年为单位,年利率为$x$,本金是10 000元,那么两年后本息和$y$(元)关于$x$的函数解析式为$y = 10000(1+x)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察复利计算以及二次函数的建立。
首先，第一年结束后的本息和将是本金加上一年的利息，即：
$10000(1+x)$
第二年，将第一年的本息和作为新的本金进行计算，所以两年后的本息和将是第一年本息和加上第二年的利息，即：
$10000(1+x)(1+x) = 10000(1+x)^{2}$
所以，两年后本息和$y$关于年利率$x$的函数解析式为：
$y = 10000(1+x)^{2}$
【答案】：
$y = 10000(1+x)^{2}$

2. 某服装店试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本,且获得的利润不得高于成本的45%. 经试销发现,销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)符合一次函数关系$y= -x+120$. 有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元.
其中正确结论的个数是(1).
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 解：
① 成本为60元，利润不高于成本的45%，则销售单价最高为 $60×(1+45\%)=87$ 元，90元超过上限，故①错误；
② 利润 $W=(x-60)y=(x-60)(-x+120)=-x^2+180x-7200$，
对称轴 $x=90$，开口向下，在 $x \leq 87$ 时，W随x增大而增大，
当 $x=87$ 时，$W=(87-60)(-87+120)=27×33=891$ 元，故②正确；
③ 令 $W=500$，则 $-x^2+180x-7200=500$，
即 $x^2-180x+7700=0$，
判别式 $\Delta=180^2-4×1×7700=32400-30800=1600$，
解得 $x_1=70$，$x_2=110$，
因 $x \leq 87$，故 $x=70$ 是唯一解，故③错误；
综上，正确结论个数为1。
答案：B

3. 某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子. 根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子. 设果园增种$x$棵橘子树,果园橘子总个数为$y$个,则果园里增种10棵橘子树,橘子总个数最多.

答案： 【解析】：
首先，我们需要根据题意建立果园里橘子的总个数$y$与增种的橘子树数量$x$之间的关系式。
初始时，果园有100棵橘子树，每棵树平均结600个橘子。
当果园增种$x$棵橘子树后，橘子树的总数变为$100 + x$棵，
而每棵树的平均橘子数变为$600 - 5x$个（因为每增种一棵树，每棵树的橘子数就会减少5个）。
因此，果园里橘子的总个数$y$可以表示为：
$y = (100 + x)(600 - 5x)$
展开得：
$y = 60000 + 600x - 500x - 5x^{2}$
$y = -5x^{2} + 100x + 60000$
为了找到$y$的最大值，我们可以将上述二次函数化为顶点式。
通过配方，我们有：
$y = -5(x^{2} - 20x) + 60000$
$y = -5(x^{2} - 20x + 100) + 60000 + 500$
$y = -5(x - 10)^{2} + 60500$
由于二次项系数$a = -5 ＜ 0$，所以函数开口向下，顶点处取得最大值。
从上述公式可以看出，当$x = 10$时，$y$取得最大值60500。
所以，果园里增种10棵橘子树时，橘子总个数最多。
【答案】：10。

4. 一种进价为每件40元的T恤,若销售单价为60元,则每周可卖出300件. 为提高利润,欲对该T恤进行涨价销售. 经过调查发现：每涨价1元,每周要少卖出10件. 请确定该T恤涨价后每周的销售利润$y$(元)与销售单价$x$(元)之间的函数解析式,并求销售单价定为多少元时,每周的销售利润最大.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的建立和最大化问题。
首先，我们需要根据题意建立销售利润$y$与销售单价$x$之间的函数关系。
原始销售单价为60元，进价为40元，因此单件利润为$60-40=20$元。
每涨价1元，销售量减少10件。
设涨价后的销售单价为$x$元，则涨价了$x-60$元，
因此销售量变为$300-10(x-60)$件。
所以，销售利润$y$可以表示为：
$y =$（销售单价 - 进价）$×$ 销售量
$= (x - 40) × [300 - 10(x - 60)]$
展开后得到：
$y = (x - 40) × (300 - 10x + 600)$
$= (x - 40) × (900 - 10x)$
$= 900x - 10x^2 - 36000 + 400x$
$= -10x^2 + 1300x - 36000$
为了找到$y$的最大值，我们可以将上述二次函数转化为顶点式。
因为二次项系数为-10（小于0），所以该函数开口向下，有最大值。
$y = -10(x^2 - 130x) - 36000$
$= -10(x^2 - 130x + 4225 - 4225) - 36000$
$= -10(x - 65)^2 + 42250 - 36000$
$= -10(x - 65)^2 + 6250$
由此，我们可以明确看出，当$x=65$时，$y$取得最大值6250。
【答案】：
销售利润$y$与销售单价$x$之间的函数解析式为：
$y = -10x^2 + 1300x - 36000$
当销售单价定为65元时，每周的销售利润最大，为6250元。