《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

9. 如图①,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,阅读以下作图过程,并回答下列问题：
作法如图②.
a. 作直径AF.
b. 以F为圆心,FO为半径作圆弧,与$\odot O$交于点M,N.
c. 连接AM,MN,NA.
(1)求$\angle ABC$的度数.
(2)$\triangle AMN$是正三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始,以$\widehat{DN}$长为弧长,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.

答案：
(1)解：
∵ABCDE是正五边形，
∴$\angle ABC=\frac{(5-2)×180^\circ}{5}=108^\circ$。
(2)解：$\triangle AMN$是正三角形，理由如下：
设$\odot O$半径为$r$，连接$OM$，$ON$，$FM$。
∵AF是直径，$FO=r$，$FM=FO=r$，$OM=r$，
∴$\triangle FOM$是等边三角形，$\angle FOM=60^\circ$，
同理$\angle FON=60^\circ$，
∴$\angle MON=120^\circ$，
∴$\angle MAN=\frac{1}{2}\angle MON=60^\circ$。
∵$OM=ON$，$AM=AN$，
∴$\triangle AMN$是等边三角形。
(3)解：连接$OD$，$FN$。
由
(2)知$\angle FON=60^\circ$，
∵ABCDE是正五边形，
∴$\angle AOD=\frac{360^\circ}{5}×2=144^\circ$，
$\angle AOF=180^\circ$，
∴$\angle DOF=180^\circ-144^\circ=36^\circ$，
$\angle DON=\angle FON-\angle DOF=60^\circ-36^\circ=24^\circ$，
∴$\widehat{DN}$的度数为$24^\circ$，
$n=\frac{360^\circ}{24^\circ}=15$。

1. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积. 如图,若用圆的内接正十二边形的面积$S_1来近似估计\odot O$的面积S,设$\odot O$的半径为1,求$S-S_1$的值.(结果保留两位小数)

答案： 解：因为圆的半径$r = 1$，所以圆的面积$S=\pi r^{2}=\pi×1^{2}=\pi$。
圆内接正十二边形可分成12个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为$\frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$，腰长为圆的半径1。
每个等腰三角形的面积为$\frac{1}{2}×1×1×\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
所以正十二边形的面积$S_{1}=12×\frac{1}{4}=3$。
则$S - S_{1}=\pi - 3\approx3.14 - 3 = 0.14$。
答：$S - S_{1}$的值约为$0.14$。

2. 生活中为了节省材料,常常要讨论面积的最值. 请回答下列问题：
(1)如图①,有一边长为2的正八边形ABCDEFGH形薄木片,要从中锯出一个面积最大的正方形,则其面积等于8-4√2.
(2)如图②,现有边长为a的正方形花布,问应该怎样裁剪,才能得到一个面积最大的正八边形花布来做一个形状为正八边形的风筝？
解：在正方形四个角各剪去一个腰长为$\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}$的等腰直角三角形，剩余部分即为面积最大的正八边形。

答案：
(1) 8-4√2
(2) 解：在正方形四个角各剪去一个腰长为$\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}$的等腰直角三角形，剩余部分即为面积最大的正八边形。