《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

7. 二次函数$y= ax^2+bx+c$的图象如图所示,则一次函数$y= bx+a$的图象不经过(D)。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 解：由二次函数图象开口向上，得$a＞0$；对称轴在$y$轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，又$a＞0$，则$b＞0$。
一次函数$y=bx+a$中，$b＞0$，$a＞0$，所以其图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
答案：D

8. 用二次函数的顶点坐标公式求下列函数的顶点坐标.
(1)$y= x^2-2x-1$； (2)$y= -2x^2+4x+3$.

答案：
(1)解：对于二次函数$y = x^2 - 2x - 1$，其中$a = 1$，$b=-2$，$c=-1$。
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
$y=\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4×1×(-1)-(-2)^2}{4×1}=\frac{-4 - 4}{4}=-2$
顶点坐标为$(1, -2)$
(2)解：对于二次函数$y=-2x^2 + 4x + 3$，其中$a=-2$，$b = 4$，$c = 3$。
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)}=1$
$y=\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4×(-2)×3-4^2}{4×(-2)}=\frac{-24 - 16}{-8}=\frac{-40}{-8}=5$
顶点坐标为$(1, 5)$

9. 先将下列函数解析式化为$y= a(x-h)^2+k$形式,然后在不同坐标系内画出图象.
(1)$y= -x^2+4x$； (2)$y= 3x^2+6x+1$.

答案：

(1)解：$y=-x^2 + 4x$
$=-(x^2 - 4x)$
$=-(x^2 - 4x + 4 - 4)$
$=-(x - 2)^2 + 4$
(2)解：$y=3x^2 + 6x + 1$
$=3(x^2 + 2x) + 1$
$=3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$
$=3(x + 1)^2 - 3 + 1$
$=3(x + 1)^2 - 2$

1. 抛物线$y= 2x^2+5x-3$的对称轴是直线$x=-\frac{5}{4}$；顶点坐标是$(-\frac{5}{4},-\frac{49}{8})$；与$y$轴的交点坐标是$(0,-3)$.

答案： 【解析】：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴的公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
将给定的函数$y=2x^2+5x-3$中的系数代入，可得对称轴为$x=-\frac{5}{2×2}=-\frac{5}{4}$。
二次函数的顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$，将系数代入，可得顶点坐标为$(-\frac{5}{4},-3-\frac{5^2}{4×2})=(-\frac{5}{4},-\frac{49}{8})$，
但这个公式在此处不直接使用，我们更常用的是将函数表达式化为顶点式，即$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$(h,k)$为顶点坐标。
通过配方，我们有：
$y=2x^2+5x-3=2(x^2+\frac{5}{2}x)-3=2(x^2+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}-\frac{25}{16})-3=2(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{8}-3=2(x+\frac{5}{4})^2-\frac{49}{8}$，
所以，顶点坐标为$(-\frac{5}{4},-\frac{49}{8})$。
与$y$轴的交点即$x=0$时的$y$值，代入原函数得$y=-3$，所以与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$。
【答案】：
对称轴是直线$x=-\frac{5}{4}$；
顶点坐标是$(-\frac{5}{4},-\frac{49}{8})$；
与$y$轴的交点坐标是$(0,-3)$。

2. 已知函数$y= x^2-6x+m$的最小值为1,那么$m$的值为10.

答案： 解：对于二次函数$y = x^2 - 6x + m$，其中$a = 1$，$b = -6$，$c = m$。
因为$a = 1 ＞ 0$，所以函数图象开口向上，函数有最小值，且在对称轴处取得最小值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2×1} = 3$。
将$x = 3$代入函数，可得最小值为：
$y = 3^2 - 6×3 + m = 9 - 18 + m = m - 9$。
已知最小值为$1$，则$m - 9 = 1$，解得$m = 10$。
10