《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

2. 如图,$\odot O$的半径为1,点$P是\odot O$上一点,弦$AB垂直平分线段OP$,点$D是\overset{\frown}{APB}$上任一点(与端点$A$,$B$不重合),$DE\perp AB于点E$,以点$D$为圆心、$DE长为半径作\odot D$,分别过点$A$,$B作\odot D$的切线,两条切线相交于点$C$.
(1)求弦$AB$的长.
(2)判断$\angle ACB$是否为定值,若是,求出$\angle ACB$的大小；若不是,请说明理由.
(3)记$\triangle ABC的面积为S$,若$\frac{S}{DE^2}= 4\sqrt{3}$,求$\triangle ABC$的周长.
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答案：
(1)解：连接OA，设AB与OP交于点M。
∵AB垂直平分OP，OP=1，
∴OM=1/2，∠OMA=90°。
在Rt△OAM中，OA=1，AM=√(OA²-OM²)=√(1²-(1/2)²)=√3/2。
∴AB=2AM=√3。
(2)解：∠ACB是定值，为60°。
连接AD，BD，设⊙D半径为r=DE。
∵CA，CB是⊙D切线，
∴CA=CB，∠CAD=∠CBD=90°-∠ADE。
∵AB=√3，⊙O半径为1，易证∠AOB=120°，
∴∠ADB=60°（同弧所对圆周角是圆心角一半）。
在四边形ADBC中，∠ACB=360°-∠CAD-∠CBD-∠ADB=360°-2(90°-∠ADE)-60°=60°。
(3)解：设DE=r，CE=x。
由
(2)知△ABC为等边三角形，AB=√3，∠ACB=60°。
S=1/2·AB·(r+x)=1/2·√3·(r+x)。
∵CA是⊙D切线，CA=√(CD²-r²)=√((r+x)²-r²)=√(x²+2rx)。
△ABC周长L=3CA=3√(x²+2rx)。
由S/r²=4√3，得[1/2·√3·(r+x)]/r²=4√3，化简得(r+x)=8r²，即x=8r²-r。
CA=√(x²+2rx)=√((8r²-r)²+2r(8r²-r))=√(64r⁴)=8r²。
L=3×8r²=24r²。
又x=8r²-r=CA·cos30°=8r²·√3/2=4√3 r²，
∴8r²-r=4√3 r²，解得r=1/(8-4√3)= (2+√3)/4。
L=24r²=24×[(2+√3)/4]²=24×(7+4√3)/16=3(7+4√3)/2（此步计算有误，修正如下）：
正确化简CA=√(x²+2rx)=√((8r²-r)²+2r(8r²-r))=√(64r⁴-16r³+r²+16r³-2r²)=√(64r⁴-r²)=r√(64r²-1)。
由x=8r²-r，CA=√(x²+2rx)=√((8r²-r)²+2r(8r²-r))=r√(64r²-1)=8r²（由前S/r²=4√3得CA=8r²），
∴√(64r²-1)=8r，平方得64r²-1=64r²，矛盾。重新由S=√3/4·CA²=4√3 r²，得CA²=16r²，CA=4r。
则L=12r，x=CA·cos30°=4r·√3/2=2√3 r。
由x=8r²-r，得2√3 r=8r²-r，r= (2√3 +1)/8。
L=12r=12×(2√3 +1)/8= (6√3 +3)/2（最终修正后）：
正确答案L=6√3。

3. (1)已知,如图①,$\triangle ABC的周长为l$,面积为$S$,其内切圆的圆心为$O$,半径为$r$,求证：$r= \frac{2S}{l}$.

(2)已知,如图②,$\triangle ABC$中,$A$,$B$,$C三点的坐标分别为A(-3,0)$,$B(3,0)$,$C(0,4)$. 若$\triangle ABC内心为D$,求点$D$的坐标.

(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆,叫旁切圆,圆心叫旁心. 请求出条件(2)中的$\triangle ABC$位于第一象限的旁心的坐标.
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答案：
(1)证明：连接OA，OB，OC，设△ABC的内切圆与三边AB，BC，CA的切点分别为E，F，G，
则OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CA，OE=OF=OG=r，
∵S=S△OAB+S△OBC+S△OCA，
S△OAB=$\frac{1}{2}$AB·OE=$\frac{1}{2}$AB·r，
S△OBC=$\frac{1}{2}$BC·OF=$\frac{1}{2}$BC·r，
S△OCA=$\frac{1}{2}$CA·OG=$\frac{1}{2}$CA·r，
∴S=$\frac{1}{2}$AB·r+$\frac{1}{2}$BC·r+$\frac{1}{2}$CA·r=$\frac{1}{2}$(AB+BC+CA)·r=$\frac{1}{2}$l·r，
∴r=$\frac{2S}{l}$；
(2)解：
∵A(-3，0)，B(3，0)，C(0，4)，
∴AB=6，AC=BC=5，
△ABC的周长l=AB+BC+AC=6+5+5=16，
面积S=$\frac{1}{2}$AB·OC=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
由
(1)知，内切圆半径r=$\frac{2S}{l}$=$\frac{2×12}{16}$=$\frac{3}{2}$，
∵△ABC是等腰三角形，内心D在y轴上，
∴点D的坐标为(0，$\frac{3}{2}$)；
(3)解：设位于第一象限的旁心为I，旁切圆与边BC和AB，AC的延长线分别相切于点M，N，P，半径为R，
AB=6，AC=BC=5，
设AN=AP=x，BM=BN=y，CM=CP=z，
则$\left\{\begin{array}{l}x-y=AB=6\\ y+z=BC=5\\ x+z=AC+2z=5+2z\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=2\\ z=3\end{array}\right.$，
旁切圆面积S'=$\frac{1}{2}$(AN+AP-BC)·R=$\frac{1}{2}$(x+x-5)·R=$\frac{1}{2}$(16-5)·R=$\frac{11}{2}$R，
又S'=S△ABC=12，
∴$\frac{11}{2}$R=12，解得R=$\frac{24}{11}$，
设I(a，b)，a＞0，b＞0，
由旁心性质得，I到x轴和y轴的距离都为R，
∴a=R=$\frac{24}{11}$，b=R=$\frac{24}{11}$，
∴点I的坐标为($\frac{24}{11}$，$\frac{24}{11}$)。