《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步. 问阔及长各几步?”意思是一块矩形田地的面积是 864 平方步,宽比长少 12 步,问宽和长各是几步？设宽为 $x$ 步,根据题意列方程正确的是(D).
A.$2x+2(x+12)= 864$
B.$x^2+2(x+12)= 864$
C.$x(x-12)= 864$
D.$x(x+12)= 864$

答案： 【解析】：
首先，我们设矩形田地的宽为$x$步。
根据题意，矩形的长就是宽加上12步，即$x+12$步。
矩形的面积公式是：$面积 = 长 × 宽$。
将长和宽代入面积公式，我们得到：$x × (x + 12) = 864$。
这是一个关于$x$的一元二次方程。
对比选项，我们发现这个方程与选项D：$x(x+12)= 864$ 一致。
【答案】：
D

2. 若 $x= a$ 是方程 $2x^2-x-3= 0$ 的一个解,则 $6a^2-3a$ 的值为(9).
A.3
B.$-3$
C.9
D.$-9$

答案： 解：因为$x = a$是方程$2x^2 - x - 3 = 0$的一个解，所以将$x = a$代入方程得：$2a^2 - a - 3 = 0$，即$2a^2 - a = 3$。
两边同时乘以$3$，得：$3(2a^2 - a) = 3×3$，即$6a^2 - 3a = 9$。
答案：C

3. 若方程 $(m^2-1)x^2+\sqrt{2m}x= 9$ 是关于 $x$ 的一元二次方程,则 $m$ 的取值范围是$m \geq 0$ 且 $m \neq 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的定义。
根据一元二次方程的定义，方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 是一元二次方程当且仅当 $a \neq 0$。
对于给定的方程 $(m^2 - 1)x^2 + \sqrt{2m}x = 9$，要使其为一元二次方程，需要满足两个条件：
$m^2 - 1 \neq 0$，即 $m \neq \pm 1$。
二次项系数 $m^2 - 1$ 不能为0，同时由于方程中存在 $\sqrt{2m}$，因此 $2m \geq 0$，即 $m \geq 0$。
综合以上两个条件，我们得到 $m \geq 0$ 且 $m \neq 1$。
【答案】：
$m$ 的取值范围是 $m \geq 0$ 且 $m \neq 1$。

4. 若关于 $x$ 的方程 $x^2-4x-p^2+2p+2= 0$ 的一个根为 $p$,则 $p=$1.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解的定义。
根据题目条件，方程 $x^2 - 4x - p^2 + 2p + 2 = 0$ 的一个根为 $p$，
那么我们可以将 $x = p$ 代入方程中，得到：
$p^2 - 4p - p^2 + 2p + 2 = 0$
化简后得到：
$-2p + 2 = 0$
进一步解得：
$p = 1$
【答案】：
$p = 1$

5. 已知 $x= -1$ 是一元二次方程 $x^2+mx+n= 0$ 的一个根,则 $m^2-2mn+n^2$ 的值为1.

答案： 解：
∵x=-1是一元二次方程x²+mx+n=0的一个根，
∴(-1)²+m×(-1)+n=0，
即1 - m + n = 0，
∴m - n = 1。
∴m² - 2mn + n² = (m - n)² = 1² = 1。
故答案为：1。

6. 已知 $x= a$ 是方程 $x^2-2025x+1= 0$ 的一个根,则 $a^2-2026a+\frac{a^2+1}{2025}$ 的值为-1.

答案： 解：因为$x = a$是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个根，所以$a^2 - 2025a + 1 = 0$，即$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$。
将$a^2 = 2025a - 1$和$a^2 + 1 = 2025a$代入原式：
$\begin{aligned}a^2 - 2026a + \frac{a^2 + 1}{2025}&=(2025a - 1) - 2026a + \frac{2025a}{2025}\\&=2025a - 1 - 2026a + a\\&=(2025a - 2026a + a) - 1\\&=0 - 1\\&=-1\end{aligned}$
故答案为$-1$。

7. 已知 $m^2-5m-1= 0$,则 $2m^2-5m+\frac{1}{m^2}= $28.

答案： 解：由$m^2 - 5m - 1 = 0$，得$m^2 = 5m + 1$，且$m \neq 0$。
方程两边同除以$m$，得$m - 5 - \frac{1}{m} = 0$，即$m - \frac{1}{m} = 5$。
两边平方，得$m^2 - 2 + \frac{1}{m^2} = 25$，则$m^2 + \frac{1}{m^2} = 27$。
$2m^2 - 5m + \frac{1}{m^2} = (m^2 - 5m) + (m^2 + \frac{1}{m^2})$，
因为$m^2 - 5m = 1$，所以原式$= 1 + 27 = 28$。
28

8. 化学科代表在老师的指导下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作,回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学,第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学,这样全班 49 人恰好都会做这个实验了,若设科代表第一节课手把手教会了 $x$ 名同学,请列出满足条件的方程.

答案： 解：设科代表第一节课手把手教会了$x$名同学。
第一节课后会做实验的同学人数为：$1 + x$（科代表加上学会的$x$名同学）
第二节课，这$(1 + x)$名同学每人又教会$x$名同学，所以第二节课新学会的同学人数为：$x(1 + x)$
两节课后全班 49 人都会做实验，因此可列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 49$
整理得：$(1 + x)^2 = 49$
答：满足条件的方程为$(1 + x)^2 = 49$。