《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 抛物线$y= x^2+4x+4$上的一个点是(C).
A.(2,-8)
B.(2,-2)
C.(-2,0)
D.(-2,-8)

答案： 解：将各选项坐标代入抛物线方程$y = x^2 + 4x + 4$验证：
选项A：当$x=2$时，$y=2^2 + 4×2 + 4=4 + 8 + 4=16\neq-8$，故A错误；
选项B：当$x=2$时，$y=16\neq-2$，故B错误；
选项C：当$x=-2$时，$y=(-2)^2 + 4×(-2) + 4=4 - 8 + 4=0$，故C正确；
选项D：当$x=-2$时，$y=0\neq-8$，故D错误。
答案：C

2. 二次函数$y= 2(x+3)^2-2$的顶点坐标是(-3,-2).
A.(3,2)
B.(-3,2)
C.(-3,-2)
D.(3,-2)

答案： 解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
对于二次函数$y=2(x+3)^2 - 2$，可变形为$y=2[x - (-3)]^2 + (-2)$，其中$h=-3$，$k=-2$。
所以该二次函数的顶点坐标是$(-3,-2)$。
答案：C

3. 在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为$x(0＜x＜1)$的小正方形,如果设剩余部分的面积为$y$,那么$y关于x$的函数解析式为(B).
A.$y= x^2$
B.$y= 1-x^2$
C.$y= x^2-1$
D.$y= 1-2x$

答案： 【解析】：
本题主要考察的是二次函数的建立。
首先，大正方形的边长为1，所以其面积为$1^2 = 1$。
小正方形的边长为$x$，所以其面积为$x^2$。
剩余部分的面积$y$就是大正方形的面积减去小正方形的面积，即：
$y = 1 - x^2$。
这就是$y$关于$x$的函数解析式。
对比选项，我们发现这与选项B相符。
【答案】：
B

4. 二次函数$y= ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示,下列说法中不正确的是(D).

A.$b^2-4ac＞0$
B.$a＞0$
C.$c＞0$
D.$-\frac{b}{2a}＜0$

答案： 【解析】：
本题考查二次函数的图象和系数的关系以及判别式的意义。
A选项：因为二次函数的图象与$x$轴有两个交点，所以判别式 $b^2 - 4ac ＞ 0$，故A选项正确。
B选项：二次函数的图象开口向上，因此 $a ＞ 0$，故B选项正确。
C选项：二次函数的图象与$y$轴的交点在$y$轴的正半轴上，即当$x=0$时，$y=c＞0$，故C选项正确。
D选项：二次函数的对称轴是 $x = -\frac{b}{2a}$，由图象可知，对称轴 $x = -\frac{b}{2a} ＞ 0$，与D选项中的 $-\frac{b}{2a} ＜ 0$ 矛盾，故D选项错误。
【答案】：D

5. 若一次函数$y= (m+1)x+m$的图象过第一、三、四象限,则函数$y= mx^2-mx$有(B).
A.最大值$\frac{m}{4}$
B.最大值$-\frac{m}{4}$
C.最小值$\frac{m}{4}$
D.最小值$-\frac{m}{4}$

答案： 解：
∵一次函数$y=(m+1)x+m$的图象过第一、三、四象限，
∴$\begin{cases}m+1＞0\\m＜0\end{cases}$，解得$-1＜m＜0$。
函数$y=mx^2-mx$为二次函数，其中$a=m＜0$，抛物线开口向下，有最大值。
对称轴为$x=-\frac{-m}{2m}=\frac{1}{2}$。
当$x=\frac{1}{2}$时，$y_{max}=m\left(\frac{1}{2}\right)^2 - m\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{m}{4}-\frac{m}{2}=-\frac{m}{4}$。
答案：B

6. 把抛物线$y= -x^2$的图象向下平移4个单位,再向左平移3个单位,得到的抛物线的解析式是$y = -(x+3)^2 - 4$.

答案： 【解析】：
本题考查了抛物线的平移性质。对于抛物线$y = ax^2 + bx + c$，当其进行上下平移时，其常数项会发生变化；当其进行左右平移时，其$x$的值会发生变化。具体地，向上平移增加常数项，向下平移减少常数项；向左平移$x$替换为$x+$平移的单位数，向右平移$x$替换为$x-$平移的单位数。
原抛物线为$y = -x^2$。
首先，将其向下平移$4$个单位，得到新的抛物线解析式：$y = -x^2 - 4$。
接着，将上述抛物线向左平移$3$个单位，即将$x$替换为$x+3$，得到：
$y = -(x+3)^2 - 4$
展开得：
$y = -x^2 - 6x - 9 - 4$
$y = -x^2 - 6x - 13$
但通常我们保持抛物线解析式的顶点式形式，所以答案为：
$y = -(x+3)^2 - 4$
【答案】：
$y = -(x+3)^2 - 4$

7. 抛物线$y= x^2+3x-10$与x轴的交点坐标为$(-5, 0)$，$(2, 0)$.

答案： 解：令$y = 0$，则$x^2 + 3x - 10 = 0$
因式分解得$(x + 5)(x - 2) = 0$
解得$x_1 = -5$，$x_2 = 2$
所以抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-5, 0)$，$(2, 0)$

8. 抛物线$y= -x^2+bx+c$的图象如图所示,则此抛物线的解析式为$y = -x^2 + 2x + 3$.

答案： 【解析】：
由图可知，抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，对称轴为$x = 1$。
根据抛物线的对称性，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(3,0)$，对称轴为$x = 1$，设另一个交点坐标为$(x_0,0)$，则$\frac{3 + x_0}{2}=1$，解得$x_0=-1$，即抛物线与$x$轴的另一个交点为$(-1,0)$。
把$(-1,0)$，$(3,0)$代入抛物线$y = -x^2 + bx + c$中，得到方程组$\begin{cases}-1 - b + c = 0\\-9 + 3b + c = 0\end{cases}$。
用第二个方程$-9 + 3b + c = 0$减去第一个方程$-1 - b + c = 0$，可得：
$\begin{aligned}(-9 + 3b + c)-(-1 - b + c)&=0 - 0\\-9 + 3b + c + 1 + b - c&=0\\(-9 + 1)+(3b + b)+(c - c)&=0\\-8 + 4b&=0\\4b&=8\\b&=2\end{aligned}$
将$b = 2$代入$-1 - b + c = 0$，可得：
$\begin{aligned}-1 - 2 + c&=0\\-3 + c&=0\\c&=3\end{aligned}$
所以抛物线的解析式为$y = -x^2 + 2x + 3$。
【答案】：
$y = -x^2 + 2x + 3$