《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

3. 二次函数$y= x^2-2x-3$的图象如图所示. 当$y＜0$时,自变量$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 3$.

答案： 解：令$y=0$，则$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x - 3)(x + 1) = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
由函数图象可知，抛物线开口向上，
所以当$y ＜ 0$时，自变量$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 3$。
$-1 ＜ x ＜ 3$

4. 对于二次函数$y= -\frac{1}{4}x^2+x-4$,下列说法正确的是(B)。
A.当$x＞0$时,$y随x$的增大而增大
B.当$x= 2$时,$y有最大值-3$
C.图象的顶点坐标为$(-2,-7)$
D.图象与$x$轴有两个交点

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，包括函数的增减性、最值、顶点坐标以及与$x$轴的交点个数。
首先，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。
对于给定的函数$y=-\frac{1}{4}x^2+x-4$，其对称轴为$x=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{4})}=2$。
A选项：考察函数的增减性。
由于$a=-\frac{1}{4}＜0$，所以函数开口向下。
因此，当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
所以A选项错误。
B选项：考察函数的最值。
由于函数开口向下，所以函数在对称轴$x=2$处取得最大值。
将$x=2$代入函数，得到$y=-\frac{1}{4}×2^2+2-4=-3$。
所以B选项正确。
C选项：考察函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标一般为$\left(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a}\right)$。
将给定的函数的系数代入，得到顶点坐标为$(2,-3)$，与C选项给出的$(-2,-7)$不符。
所以C选项错误。
D选项：考察函数与$x$轴的交点个数。
这可以通过判断判别式$\Delta=b^2-4ac$的正负来确定。
对于给定的函数，$\Delta=1^2-4×(-\frac{1}{4})×(-4)=1-4=-3＜0$。
因此，函数与$x$轴没有交点。
所以D选项错误。
综上，只有B选项正确。
【答案】：B

5. 二次函数$y= (x+m)^2+n$的图象如图所示,则一次函数$y= mx+n$的图象经过(D)。

A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限

答案： 解：由二次函数$y=(x+m)^2+n$的图象可知，其顶点坐标为$(-m,n)$。
因为抛物线开口向上，顶点在第四象限，所以顶点的横坐标$-m＞0$，纵坐标$n＜0$，即$m＜0$，$n＜0$。
对于一次函数$y=mx+n$，由于$m＜0$，$n＜0$，所以其图象经过第二、三、四象限。
答案：D

6. 二次函数$y= ax^2+bx+1与一次函数y= 2ax+b$在同一平面直角坐标系中的图象可能是(A)。

答案： 【解析】：本题可先根据二次函数$y = ax^2 + bx + 1$中$x = 0$时$y$的值确定二次函数图象与$y$轴的交点，再结合一次函数$y = 2ax + b$与二次函数中$a$、$b$的关系，分情况讨论$a$的正负，进而判断两个函数图象的大致位置。
步骤一：确定二次函数图象与$y$轴的交点
对于二次函数$y = ax^2 + bx + 1$，当$x = 0$时，$y = 1$，所以二次函数$y = ax^2 + bx + 1$的图象与$y$轴的交点为$(0,1)$，据此可排除选项B，因为选项B中二次函数图象与$y$轴的交点不在$(0,1)$。
步骤二：分情况讨论$a$的正负
当$a\gt0$时：
二次函数$y = ax^2 + bx + 1$的二次项系数$a\gt0$，所以其图象开口向上。
一次函数$y = 2ax + b$中，斜率$2a\gt0$，所以一次函数$y = 2ax + b$的图象从左到右上升。
此时选项A、C中二次函数图象开口向上，一次函数图象从左到右上升，符合$a\gt0$的情况。
对于选项A，二次函数对称轴$x = -\frac{b}{2a}\gt0$，则$b\lt0$，一次函数$y = 2ax + b$与$y$轴的交点$(0,b)$在$y$轴负半轴，符合图象特征。
对于选项C，二次函数对称轴$x = -\frac{b}{2a}\lt0$，则$b\gt0$，一次函数$y = 2ax + b$与$y$轴的交点$(0,b)$在$y$轴正半轴，但一次函数图象的斜率$2a\gt0$，且$b\gt0$时，一次函数图象应更偏向右上方，而选项C中一次函数图象相对较“平缓”，不符合$a\gt0$且$b\gt0$时一次函数的特征，所以排除选项C。
当$a\lt0$时：
二次函数$y = ax^2 + bx + 1$的二次项系数$a\lt0$，所以其图象开口向下。
一次函数$y = 2ax + b$中，斜率$2a\lt0$，所以一次函数$y = 2ax + b$的图象从左到右下降。
而选项D中二次函数图象开口向下，但一次函数图象从左到右上升，不符合$a\lt0$时一次函数的特征，所以排除选项D。
综上，答案是A选项。
【答案】：A

7. 已知函数$y= 3x^2-6x-24$,回答下列问题：
(1)通过配方,求出函数图象的对称轴、顶点坐标；
(2)分别求出函数图象与$x$轴、$y$轴的交点坐标；
(3)画出函数的大致图象,结合图象说明,当$x$取何值时,$y＜0$?

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的性质，包括对称轴、顶点坐标的求解，与坐标轴的交点坐标，以及根据图象判断函数值的正负。
(1) 对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
通过配方，我们可以将函数$y = 3x^2 - 6x - 24$转化为顶点式，从而求出对称轴和顶点坐标。
(2) 函数与$x$轴的交点即为一元二次方程$3x^2 - 6x - 24 = 0$的根，函数与$y$轴的交点即为$x=0$时的函数值。
(3) 根据二次函数的图象和性质，我们可以画出函数的大致图象，并根据图象判断$y＜0$时$x$的取值范围。
【答案】：
(1)解：
原函数为$y = 3x^2 - 6x - 24$，
配方得：
$y = 3(x^2 - 2x) - 24$
$= 3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 24$
$= 3(x - 1)^2 - 27$
因此，对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1, -27)$。
(2)解：
当$y = 0$时，解方程$3x^2 - 6x - 24 = 0$，
即$x^2 - 2x - 8 = 0$，
解得$x_1 = -2$，$x_2 = 4$，
因此，与$x$轴的交点坐标为$(-2, 0)$和$(4, 0)$。
当$x = 0$时，$y = 3 × 0^2 - 6 × 0 - 24 = -24$，
因此，与$y$轴的交点坐标为$(0, -24)$。
(3)解：
图象略。
由图象可知，当$-2 ＜ x ＜ 4$时，$y ＜ 0$。