《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 下列图形中能够得到AE= BE的图形有(C).

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 解：
第一个图形：CD过圆心O，AB⊥CD于E，由垂径定理得AE=BE；
第二个图形：AB、CD交于E，E与O重合，圆心O平分AB，得AE=BE；
第三个图形：AB⊥CD于E，但CD不过圆心O，不符合垂径定理条件，AE≠BE；
第四个图形：OE⊥AB于E，OE过圆心O，由垂径定理得AE=BE；
综上，能得到AE=BE的图形有3个。
答案：C

2. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立的是(C).

A.CM= DM
B.$\widehat{AC}= \widehat{AD}$
C.AD= 2BD
D.∠BCD= ∠BDC

答案： 【解析】：
本题可根据垂径定理及其推论逐一分析选项。
选项A：判断$CM = DM$是否成立
垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
已知$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，垂足为$M$，根据垂径定理可知$AB$平分$CD$，即$CM = DM$，所以该选项一定成立。
选项B：判断$\widehat{AC}= \widehat{AD}$是否成立
由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧。
因为$AB$是$\odot O$的直径且$AB\perp CD$，所以$AB$平分弦$CD$所对的两条弧，即$\widehat{AC}= \widehat{AD}$，该选项一定成立。
选项C：判断$AD = 2BD$是否成立
仅根据$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，垂足为$M$，无法得出$AD$与$BD$的数量关系为$AD = 2BD$。
只有在特定条件下（如$\triangle ABD$是等边三角形等特殊情况）才可能有$AD = 2BD$，一般情况下该结论不一定成立。
选项D：判断$\angle BCD = \angle BDC$是否成立
因为$AB$是$\odot O$的直径，$AB\perp CD$，根据垂径定理可知$CB = BD$（垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，进而可得对应的弦相等）。
在$\triangle BCD$中，等腰三角形等边对等角，由于$CB = BD$，所以$\angle BCD = \angle BDC$，该选项一定成立。
综上，答案选C。
【答案】：C

3. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB= 10,CD= 8,那么AE的长为(2).

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 解：连接OC。
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴OC=OA=5。
∵CD⊥AB，CD=8，
∴CE=CD/2=4。
在Rt△OCE中，OE²+CE²=OC²，
即OE²+4²=5²，解得OE=3。
∵点E在OA上，
∴AE=OA-OE=5-3=2。
答案：A

4. 如图,AB是⊙O的弦,半径OA= 2,∠AOB= 120°,则弦AB的长是(B).

A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{5}$

答案： 【解析】：本题主要考查了圆的性质以及等腰三角形的性质，可通过作辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质以及三角函数来求解弦$AB$的长。
过点$O$作$OC\perp AB$于点$C$，根据垂径定理可知$AC = BC=\frac{1}{2}AB$，即$AB = 2AC$，所以只需求出$AC$的长度即可。
已知$OA = OB = 2$，$\angle AOB = 120^{\circ}$，因为$OC\perp AB$，$OA = OB$，根据等腰三角形三线合一的性质可知$\angle AOC=\frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$，则在$Rt\triangle AOC$中，$\angle OAC = 180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}= 30^{\circ}$。
在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，所以$OC=\frac{1}{2}OA = 1$。
再根据勾股定理$AC=\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}$，将$OA = 2$，$OC = 1$代入可得$AC=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
因为$AB = 2AC$，所以$AB = 2\sqrt{3}$。
【答案】：B

5. 下列命题正确的有(①③).
①弦的垂直平分线必过圆心；②平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦；③圆中两条非直径的相交弦不能互相平分；④平分弦的直径垂直于弦.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： 【解析】：
本题主要考察的是圆的基本性质以及垂径定理的应用。
① 根据垂径定理，我们知道垂直平分弦的直线必定经过圆心，所以此命题是正确的。
② 垂径定理告诉我们，平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦。但题目中说的是平分一条弧的“直线”，而不是直径，所以此命题是错误的。因为平分弧的直线不一定经过圆心，也就不一定垂直于弧所对的弦。
③ 对于圆中的两条非直径的相交弦，如果它们互相平分，则它们会将圆分成四个相等的部分，这与圆的性质矛盾。所以此命题是正确的，即圆中两条非直径的相交弦不能互相平分。
④ 根据垂径定理的推论，我们知道平分弦（但不是直径）的直径垂直于弦。但题目中说的是“平分弦的直径”，这与垂径定理的推论不符，所以此命题是错误的。
综上，正确的命题有2个。
【答案】：
C. 2个。