《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

14. 为满足市场需求,某超市购进一种水果,每箱进价是40元. 超市规定每箱售价不得少于45元且不得多于55元,根据以往经验发现：当售价定为每箱45元时,每天可以卖出700箱. 每箱售价每提高1元,每天要少卖出20箱.
(1)求每天的销售利润$y$(元)与售价$x$(元)之间的解析式,并写出$x$的取值范围.
(2)当每箱售价定为多少元时,每天的销售利润$y$(元)最大？最大利润是多少？

答案：
(1)解：由题意得，每箱售价为$x$元时，比45元提高了$(x - 45)$元，每天少卖出$20(x - 45)$箱，则每天的销售量为$700 - 20(x - 45)$箱。
化简销售量：$700 - 20(x - 45)=700 - 20x + 900=1600 - 20x$
每箱利润为$(x - 40)$元，所以销售利润$y=(x - 40)(1600 - 20x)$
展开得：$y=1600x - 20x^{2}-64000 + 800x=-20x^{2}+2400x - 64000$
$x$的取值范围是$45\leqslant x\leqslant55$
(2)解：$y=-20x^{2}+2400x - 64000$，其中$a=-20\lt0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2400}{2×(-20)}=60$
因为$45\leqslant x\leqslant55$，对称轴$x = 60$不在此范围内，且$x\lt60$时，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x = 55$时，$y$有最大值。
$y=-20×55^{2}+2400×55 - 64000$
$=-20×3025 + 132000 - 64000$
$=-60500 + 132000 - 64000$
$=7500$
当每箱售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润是7500元。

15. 如图,对称轴为直线$x= -1的抛物线y= x^2+bx+c$与x轴相交于A,B两点,其中A点的坐标为(-3,0).

(1)求该二次函数的解析式.
(2)已知点C为抛物线与y轴的交点.
①若点P在抛物线上,且$S_{\triangle POC}= 4S_{\triangle BOC}$,请直接写出点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点,作$QD\perp x$轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.

答案：
(1)解：
∵抛物线对称轴为直线$x=-1$，
∴$-\frac{b}{2×1}=-1$，解得$b=2$。
∵抛物线过点$A(-3,0)$，
∴$(-3)^2+2×(-3)+c=0$，即$9 - 6 + c = 0$，解得$c=-3$。
∴二次函数解析式为$y=x^2 + 2x - 3$。
(2)①解：令$x=0$，则$y=0 + 0 - 3=-3$，
∴$C(0,-3)$。
令$y=0$，则$x^2 + 2x - 3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
∴$B(1,0)$。
$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OB× OC=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，
$S_{\triangle POC}=4×\frac{3}{2}=6$。
设$P(m,n)$，$S_{\triangle POC}=\frac{1}{2}× OC×|m|=\frac{1}{2}×3×|m|=6$，
∴$\frac{3}{2}|m|=6$，$|m|=4$，$m=\pm4$。
当$m=4$时，$n=4^2 + 2×4 - 3=16 + 8 - 3=21$；
当$m=-4$时，$n=(-4)^2 + 2×(-4) - 3=16 - 8 - 3=5$。
∴$P(4,21)$或$(-4,5)$。
②解：设直线$AC$解析式为$y=kx + d$，
将$A(-3,0)$，$C(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}-3k + d = 0\\d=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\d=-3\end{cases}$，
∴直线$AC$：$y=-x - 3$。
设$Q(t,-t - 3)(-3\leq t\leq0)$，则$D(t,t^2 + 2t - 3)$，
$QD=(-t - 3)-(t^2 + 2t - 3)=-t - 3 - t^2 - 2t + 3=-t^2 - 3t$。
$QD=-t^2 - 3t=-(t^2 + 3t + \frac{9}{4}) + \frac{9}{4}=-(t + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$。
∵$-1\lt0$，
∴当$t=-\frac{3}{2}$时，$QD$最大值为$\frac{9}{4}$。