《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

二、填空题
6,若方程$mx^2+3x-4= 3x^2$是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是
$m \neq 3$.

答案： 【解析】：
首先，我们将原方程$mx^2+3x-4= 3x^2$，整理为标准形式，即$(m-3)x^2+3x-4=0$。
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即$m-3\neq 0$。
解这个不等式，我们得到$m \neq 3$。
所以，m的取值范围是$m \neq 3$。
【答案】：
$m \neq 3$

7,方程$2x^2$一x十a= 0没有实数根,则α的取值范围是$\alpha ＞ \frac{1}{8}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
若方程没有实数根，则 $\Delta ＜ 0$。
对于方程 $2x^2 - x + a = 0$，其系数分别为 $a = 2, b = -1, c = a$（这里的a是方程的系数，与题目中的α不同，注意区分）。
代入判别式得：$\Delta = (-1)^2 - 4 × 2 × a = 1 - 8a$。
要使方程没有实数根，需要 $\Delta ＜ 0$，即：
$1 - 8a ＜ 0$
解这个不等式得到：
$a ＞ \frac{1}{8}$
但题目中给出的是α，这里我们判断题目中的α即为上述求得的a（可能是题目中的符号打印错误），所以：
$\alpha ＞ \frac{1}{8}$
【答案】：
$\alpha ＞ \frac{1}{8}$

8.已知x1,x2是方程$x^2-3x-2= 0$的两个实数根,则(x1-2)(x2-2)=
-4.

答案： 解：
∵x₁，x₂是方程x² - 3x - 2 = 0的两个实数根，
∴由韦达定理得x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = -2。
∴(x₁ - 2)(x₂ - 2) = x₁x₂ - 2x₁ - 2x₂ + 4 = x₁x₂ - 2(x₁ + x₂) + 4 = -2 - 2×3 + 4 = -2 - 6 + 4 = -4。
故答案为：-4。

9,某食品公司决定下调盒装A品牌食品的价格,经过两次降价,每盒由72元调至56元,若平均每次降价的百分率为x,由题意可列方程$72(1-x)^2 = 56$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用，特别是降价率问题。
首先，理解降价率的概念。如果某商品原价为P，降价率为x，那么降价后的价格为$P(1-x)$。
题目中给出，某食品原价为72元，经过两次降价后变为56元。
设每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的价格为$72(1-x)$元。
第二次降价时，原价变为$72(1-x)$元，降价率仍为x，所以第二次降价后的价格为$72(1-x)(1-x) = 72(1-x)^2$元。
根据题意，这个价格等于56元，所以我们可以列出方程：
$72(1-x)^2 = 56$。
【答案】：
$72(1-x)^2 = 56$。

10.对于一元二次方程$ax^2$十bx十c= 0(a≠0),下列说法正确的是①②④.
①若a十b十c= 0,则$b^2-4ac≥0;$
②若方程$ax^2$十c= 0有两个不相等的实数根,则方程$ax^2$十bx十c= 0必有两
个不相等的实数根;
③若x= c是方程$ax^2$十bx十c= 0的一个根,则一定有ac十b+1= 0成立;
④若xo是一元二次方程$ax^2$十bx十c= 0的根,则$b^2-4ac= (2ax+b)^2.$

答案： 解：①若$a + b + c = 0$，则$x = 1$是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根，所以方程有实数根，$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$，正确；
②方程$ax^2 + c = 0$有两个不相等的实数根，则$\Delta = 0 - 4ac ＞ 0$，即$-4ac ＞ 0$，所以方程$ax^2 + bx + c = 0$的$\Delta = b^2 - 4ac$，因为$b^2 \geq 0$，$-4ac ＞ 0$，所以$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，必有两个不相等的实数根，正确；
③若$x = c$是方程的根，则$ac^2 + bc + c = 0$，当$c \neq 0$时，$ac + b + 1 = 0$，当$c = 0$时，$ac + b + 1 = b + 1$不一定为$0$，错误；
④若$x_0$是方程的根，则$ax_0^2 + bx_0 + c = 0$，$ax_0^2 + bx_0 = -c$，$(2ax_0 + b)^2 = 4a^2x_0^2 + 4abx_0 + b^2 = 4a(ax_0^2 + bx_0) + b^2 = 4a(-c) + b^2 = b^2 - 4ac$，正确。
答案：①②④

11.用适当方法解下列方程:
$ (1)x^2-4x+3= 0; (2)(2x+1)^2= 3(2x+1).$

答案：
(1)解：$x^2 - 4x + 3 = 0$
$(x - 1)(x - 3) = 0$
$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$
$x_1 = 1$，$x_2 = 3$
(2)解：$(2x + 1)^2 = 3(2x + 1)$
$(2x + 1)^2 - 3(2x + 1) = 0$
$(2x + 1)(2x + 1 - 3) = 0$
$(2x + 1)(2x - 2) = 0$
$2x + 1 = 0$或$2x - 2 = 0$
$x_1 = -\frac{1}{2}$，$x_2 = 1$

12.关于x的一元二次方程为$(m-1)x^2-2mx$十m+1= 0,回答下列问题:
(1)求出方程的根;
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数？

答案：
(1)解：因为方程是一元二次方程，所以$m - 1\neq0$，即$m\neq1$。
$a = m - 1$，$b=-2m$，$c = m + 1$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m - 1)(m + 1)=4m^{2}-4(m^{2}-1)=4$
$x=\frac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m - 1)}=\frac{2m\pm2}{2(m - 1)}=\frac{m\pm1}{m - 1}$
$x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}$，$x_{2}=\frac{m - 1}{m - 1}=1$
(2)解：由
(1)知$x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}=1+\frac{2}{m - 1}$，$x_{2}=1$
因为方程的两个根都为正整数，所以$x_{1}$为正整数。
则$\frac{2}{m - 1}$为整数，$m - 1$是2的正因数。
$m - 1=1$时，$m=2$，$x_{1}=3$；$m - 1=2$时，$m=3$，$x_{1}=2$
所以$m=2$或$m=3$

13.关于x的一元二次方程$x^2-(m-3)x$一$m^2= 0,$回答下列问题:
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)设x1,x2为方程的实数根,且|x1|= |x2|-2,求m的值及方程
的根.

答案： $(1)$ 证明方程总有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(m - 3)x-m^{2}=0$中，$a = 1$，$b=-(m - 3)$，$c=-m^{2}$。
则$\Delta =[-(m - 3)]^{2}-4×1×(-m^{2})$
$=m^{2}-6m + 9 + 4m^{2}$
$=5m^{2}-6m + 9$
$=5\left(m^{2}-\frac{6}{5}m\right)+9$
$=5\left(m^{2}-\frac{6}{5}m+\frac{9}{25}-\frac{9}{25}\right)+9$
$=5\left[\left(m-\frac{3}{5}\right)^{2}-\frac{9}{25}\right]+9$
$=5\left(m-\frac{3}{5}\right)^{2}-\frac{9}{5}+9$
$=5\left(m-\frac{3}{5}\right)^{2}+\frac{36}{5}$。
因为$\left(m-\frac{3}{5}\right)^{2}\geq0$，所以$5\left(m-\frac{3}{5}\right)^{2}+\frac{36}{5}＞0$，即$\Delta＞0$。
所以方程总有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求$m$的值及方程的根
由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=m - 3$，$x_{1}x_{2}=-m^{2}\leq0$。
因为$\vert x_{1}\vert=\vert x_{2}\vert-2$，所以$\vert x_{2}\vert-\vert x_{1}\vert=2$。
当$x_{1}\leq0$，$x_{2}\geq0$时，$x_{2}+x_{1}=2$，即$m - 3 = 2$，解得$m = 5$。
此时方程为$x^{2}-2x - 25 = 0$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，$\Delta =(-2)^{2}-4×1×(-25)=4 + 100 = 104$，$x=\frac{2\pm\sqrt{104}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{26}}{2}=1\pm\sqrt{26}$，即$x_{1}=1-\sqrt{26}$，$x_{2}=1+\sqrt{26}$。
当$x_{1}\geq0$，$x_{2}\leq0$时，$-(x_{2}+x_{1})=2$，即$-(m - 3)=2$，解得$m = 1$。
此时方程为$x^{2}+2x - 1 = 0$，$\Delta =2^{2}-4×1×(-1)=4 + 4 = 8$，$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$，即$x_{1}=-1+\sqrt{2}$，$x_{2}=-1-\sqrt{2}$。
综上，当$m = 5$时，方程的根为$x_{1}=1-\sqrt{26}$，$x_{2}=1+\sqrt{26}$；当$m = 1$时，方程的根为$x_{1}=-1+\sqrt{2}$，$x_{2}=-1-\sqrt{2}$。