《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 如图,CA为⊙O的切线,切点为A,点B在⊙O上,如果∠CAB= 55°,那么∠AOB的度数为(C).

A.55°
B.90°
C.110°
D.120°
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答案： 【解析】：根据圆的切线性质，切线与半径垂直，即$OA\perp AC$，
所以$\angle OAC=90^\circ$，
又因为$\angle CAB=55^\circ$，
所以$\angle OAB=\angle OAC-\angle CAB=90^\circ-55^\circ=35^\circ$，
根据圆的性质，$OA=OB$（半径相等），
所以$\angle OBA=\angle OAB=35^\circ$（等边对等角），
根据三角形内角和为$180^\circ$，
所以$\angle AOB=180^\circ-\angle OAB-\angle OBA=180^\circ-35^\circ-35^\circ=110^\circ$。
【答案】：C。

2. 如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC交⊙O于点D,连接AD. 若∠ABC= 45°,则下列结论正确的是(A).

A.$ AD= \frac{1}{2}BC $
B.$ AD= \frac{1}{2}AC $
C.AC＞AB
D.AD＞DC
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答案： 【解析】：本题可根据圆的切线性质、直径所对的圆周角性质以及等腰直角三角形的性质来逐一分析选项。
已知$AB$是$\odot O$的直径，$AC$是$\odot O$的切线，$A$为切点，根据圆的切线性质可知$AB\perp AC$，即$\angle BAC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ABC = 45^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$AB = AC$。
根据直径所对的圆周角是直角，可知$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$AD\perp BC$。
在等腰直角三角形$\triangle ABC$中，$AD$是斜边$BC$上的高，根据等腰直角三角形三线合一的性质，$AD$也是斜边$BC$上的中线，所以$AD = \frac{1}{2}BC$。
接下来分析各个选项：
选项A：由上述推理可知$AD = \frac{1}{2}BC$，该选项正确。
选项B：在$Rt\triangle ABC$中，$AD$是斜边$BC$上的中线，$AD$与$AC$的关系不确定，$AD\neq\frac{1}{2}AC$，该选项错误。
选项C：因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，所以$AB = AC$，该选项错误。
选项D：在$Rt\triangle ADC$中，$AD$是直角边，$DC$也是直角边，仅根据已知条件无法得出$AD\gt DC$，该选项错误。
【答案】：A。

3. 如图,AB是⊙O的切线,B为切点,连接AO交⊙O于点C,延长AO交⊙O于点D,连接BD. 若∠A= ∠D,且AC= 3,则AB的长度是(C).

A.3
B.4
C.$ 3\sqrt{3} $
D.$ 4\sqrt{2} $
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答案： 【解析】：本题可根据圆的切线性质以及圆周角定理，结合直角三角形的性质来求解$AB$的长度。
步骤一：利用圆的切线性质得到直角
因为$AB$是$\odot O$的切线，$B$为切点，根据圆的切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，所以$OB\perp AB$，即$\angle ABO = 90^{\circ}$。
步骤二：根据圆周角定理得到角的关系
由圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可知$\angle D$和$\angle OBD$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，所以$\angle D = \angle OBD$。
步骤三：结合已知条件推出$\triangle ABO$的角的度数
已知$\angle A = \angle D$，由上述圆周角定理可知$\angle A = \angle OBD$。
在$\triangle ABO$中，$\angle ABO = 90^{\circ}$，设$\angle A = x$，则$\angle AOB = 90^{\circ} - x$，又因为$\angle OBD = \angle A = x$，且$\angle AOB + \angle OBD = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），所以$\angle AOB = 2x$，那么$x + 2x = 90^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$，即$\angle A = 30^{\circ}$。
步骤四：设未知数并根据线段关系列方程求解
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB = r$，$AO = AC + OC = 3 + r$。
在$Rt\triangle ABO$中，$\angle A = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$AO = 2OB$，即$3 + r = 2r$，解得$r = 3$。
所以$AO = 3 + 3 = 6$。
步骤五：利用勾股定理求出$AB$的长度
在$Rt\triangle ABO$中，根据勾股定理$AB = \sqrt{AO^{2} - OB^{2}}$，将$AO = 6$，$OB = 3$代入可得：
$AB = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
【答案】：C

4. 如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B. 若PA= 8,OP= 10,则线段PB的长为4.
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答案： 【解析】：本题可根据圆的切线性质以及勾股定理来求解线段$PB$的长。
已知$PA$切$\odot O$于点$A$，根据圆的切线性质可知$OA\perp PA$，即$\triangle OAP$是直角三角形，其中$OA$为$\odot O$的半径，$PA$为切线长，$OP$为斜边。
在$Rt\triangle OAP$中，已知$PA = 8$，$OP = 10$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）可得$OA=\sqrt{OP^{2}-PA^{2}}$，将$PA = 8$，$OP = 10$代入可求出$OA$的长度。
因为$PB=OP - OB$，且$OA = OB$（$\odot O$的半径），所以求出$OA$的长度后即可求出$PB$的长。
【答案】：解：
∵$PA$切$\odot O$于点$A$，
∴$OA\perp PA$，
在$Rt\triangle OAP$中，$PA = 8$，$OP = 10$，
根据勾股定理可得$OA=\sqrt{OP^{2}-PA^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
∵$OA = OB = 6$（$\odot O$的半径），
∴$PB=OP - OB=10 - 6 = 4$。
故答案为$4$。

5. 如图,⊙M的半径$ r= 2\sqrt{2} $,圆心M的坐标为(6,0),当⊙M沿着x轴向左平移4或12个单位时,⊙M与直线y= x+2相切.
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答案： 【解析】：
本题考查的是直线与圆相切的条件，已知圆的半径，圆心坐标，和直线方程，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，让距离等于半径可解出平移的距离。
设平移后的圆心坐标为$(a,0)$，
已知圆的半径$r=2\sqrt{2}$，圆心$M$的初始坐标为$(6,0)$，
直线方程为$y=x+2$，也可以写为$x-y+2=0$，
利用点到直线的距离公式：$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，
其中，$A=1,B=-1,C=2,x=a,y=0$，
代入公式得：$d=\frac{|a+2|}{\sqrt{2}}$，
由于平移后圆与直线相切，所以$d=r$，
即$\frac{|a+2|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，
解得$|a+2|=4$，
所以$a=2$或$a=-6$，
由于$a$是平移后的圆心横坐标，且平移方向是沿着$x$轴向左，
所以$a$应该小于初始圆心横坐标$6$，
当$a=2$时，平移距离为$6-2=4$，
当$a=-6$时，平移距离为$6-(-6)=12$，
因此平移距离为$4$或$12$。
【答案】：
4或12。