《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

2. 一条单向车道的抛物线形隧道如图所示. 隧道中公路的宽度$AB= 8\ m$,隧道的最高点$C$到公路的距离为6 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的解析式；
(2)现有一辆货车的高度是4.4 m,货车的宽度是2 m,为了保证安全,车顶距离隧道顶部至少0.5 m,通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道.

答案： 【解析】：本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，需要根据已知条件建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再通过解析式判断货车能否安全通过隧道。
（1）以$AB$所在直线为$x$轴，$AB$的垂直平分线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
则$A(-4,0)$，$B(4,0)$，$C(0,6)$。
设抛物线的解析式为$y = ax^2 + 6$（因为顶点在$y$轴上，所以设此形式），把$B(4,0)$代入可得：
$0=a×4^2 + 6$，即$16a+6 = 0$，解得$a=-\frac{3}{8}$。
所以抛物线的解析式为$y = -\frac{3}{8}x^2 + 6$。
（2）已知货车宽度是$2m$，那么当货车在隧道中间行驶时，$x = 1$或$x=-1$（因为$2÷2 = 1$），把$x = 1$代入抛物线解析式$y = -\frac{3}{8}x^2 + 6$可得：
$y=-\frac{3}{8}×1^2 + 6=-\frac{3}{8}+6=\frac{45}{8}=5.625$（$m$）。
货车高度是$4.4m$，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少$0.5m$，那么所需最低高度为$4.4 + 0.5 = 4.9$（$m$）。
因为$5.625\gt 4.9$，所以这辆货车能安全通过这条隧道。
【答案】：
(1)$y = -\frac{3}{8}x^2 + 6$；
(2)能安全通过，理由见上述解析过程。

3. 某养鸡场用篱笆及一面墙(该墙可用最大长度为36 m)围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动,该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆EF,如图,BE,EF上各留有1 m宽的门(门不需要篱笆),该养鸡场共用篱笆58 m,设该矩形的一边AB长x\ m,AD＞AB,矩形ABCD的面积为$S\ m^2.(1)$求出S与x的函数解析式,直接写出自变量x的取值范围.
(2)若矩形ABCD的面积为$252\ m^2,$求AB的长.
(3)若规定$AB\geqslant12\ m,$则矩形ABCD面积的最大值是多少？

答案： 【解析】：本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，需要根据矩形的周长和面积公式列出函数解析式，再根据条件求解。
（1）求$S$与$x$的函数解析式及自变量$x$的取值范围：
已知$AB = x$米，因为有三段篱笆的长度为$AB$（或与$AB$相等），且$BE$，$EF$上各留有$1$米宽的门，共用篱笆$58$米，墙可用最大长度为$36$米，$AD\gt AB$。
那么$AD$的长度为$(58 - 3x + 2)$米（$58$是篱笆总长度，$-3x$是三段与$AB$等长的篱笆长度，$+2$是两个$1$米宽的门），即$AD=(60 - 3x)$米。
根据矩形面积公式$S = AB× AD$，可得$S = x(60 - 3x)= -3x^2 + 60x$。
因为$AD=(60 - 3x)\leq36$，且$x\gt0$（边长不能为负），$60 - 3x\gt x$（$AD\gt AB$），解不等式组：
由$60 - 3x\leq36$，移项可得$-3x\leq36 - 60$，即$-3x\leq -24$，两边同时除以$-3$，不等号变向，得$x\geq 8$。
由$60 - 3x\gt x$，移项可得$60\gt x + 3x$，即$60\gt 4x$，两边同时除以$4$，得$x\lt 15$。
结合$x\gt0$，所以自变量$x$的取值范围是$8\leq x\lt 15$。
（2）已知矩形$ABCD$的面积为$252$平方米，求$AB$的长：
当$S = 252$时，即$-3x^2 + 60x = 252$，两边同时除以$-3$得$x^2 - 20x + 84 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），这里$a = 1$，$b = -20$，$c = 84$，根据求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，可得：
$x = \frac{20\pm\sqrt{(-20)^2 - 4×1×84}}{2×1}=\frac{20\pm\sqrt{400 - 336}}{2}=\frac{20\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{20\pm8}{2}$。
解得$x_1 = \frac{20 + 8}{2} = 14$，$x_2 = \frac{20 - 8}{2} = 6$（因为$8\leq x\lt 15$，所以舍去）。
所以$AB$的长为$14$米。
（3）若规定$AB\geq12$米，求矩形$ABCD$面积的最大值：
由$S = -3x^2 + 60x$，将其化为顶点式：$S = -3(x^2 - 20x)= -3(x^2 - 20x + 100 - 100)= -3((x - 10)^2 - 100)= -3(x - 10)^2 + 300$。
因为$a = -3\lt 0$，所以二次函数图象开口向下，在对称轴$x = 10$处取得最大值$300$。
又因为规定$AB\geq12$米，即$12\leq x\lt 15$，在这个区间内$S$随$x$的增大而减小。
所以当$x = 12$时，$S$有最大值，$S = -3×(12 - 10)^2 + 300 = -3× 4 + 300 = -12 + 300 = 288$（平方米）。
【答案】：
(1)$S = -3x^2 + 60x(8\leq x\lt 15)$；
(2)$AB$的长为$14$米；
(3)矩形$ABCD$面积的最大值是$288$平方米。