《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

2. 已知矩形ABCD,AB= 3,BC= 6. 以A为圆心,r为半径作⊙A.
(1)当半径r的值为3时,⊙A与BC相切；
(2)当半径r的值为6时,⊙A与CD相切；
(3)当半径r的值为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$时,⊙A与BD相切；
(4)当半径r的取值范围为3＜r＜6时,⊙A与直线BC相交且与直线CD相离.

答案：
(1)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB⊥BC，
∵AB=3，
∴当⊙A与BC相切时，r=AB=3。
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，∠D=90°，AD⊥CD，
∴当⊙A与CD相切时，r=AD=6。
(3)解：在矩形ABCD中，AB=3，AD=BC=6，
根据勾股定理得，BD=$\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5}$，
设点A到BD的距离为h，
∵S_{△ABD}=$\frac{1}{2}AB\cdot AD=\frac{1}{2}BD\cdot h$，
∴$\frac{1}{2}×3×6=\frac{1}{2}×3\sqrt{5}\cdot h$，
解得h=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴当⊙A与BD相切时，r=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
(4)解：由
(1)知，⊙A与BC相切时r=3，
由
(2)知，⊙A与CD相切时r=6，
∵⊙A与直线BC相交且与直线CD相离，
∴3＜r＜6。
(1)3
(2)6
(3)$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
(4)3＜r＜6

3. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 8,BC= 6,点O为AC中点,以O为圆心,r为半径作⊙O,给出下列说法：①当r＜4,直线BC与⊙O相离；②当r= 2.4,直线AB与⊙O相切；③当r＞2.4,⊙O与△ABC的边有4个公共点. 其中正确的个数是(2).

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
]

答案： 【解析】：本题考查直线与圆的位置关系。
对于①：
点$O$为$AC$中点，$AC = 8$，则$OC=\frac{1}{2}AC = 4$。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，即$OC\perp BC$，当$r\lt4$时，圆心$O$到直线$BC$的距离$d = OC = 4\gt r$，根据直线与圆的位置关系可知，此时直线$BC$与$\odot O$相离，所以①正确。
对于②：
过点$O$作$OD\perp AB$于点$D$。
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$。
因为$\triangle AOD\sim\triangle ABC$（两角分别相等的两个三角形相似，$\angle A$为公共角，$\angle ADO=\angle C = 90^{\circ}$），所以$\frac{OD}{BC}=\frac{AO}{AB}$。
已知$AO=\frac{1}{2}AC = 4$，$BC = 6$，$AB = 10$，则$OD=\frac{AO\cdot BC}{AB}=\frac{4×6}{10}=2.4$。
当$r = 2.4$时，圆心$O$到直线$AB$的距离$d = OD = 2.4 = r$，根据直线与圆的位置关系可知，此时直线$AB$与$\odot O$相切，所以②正确。
对于③：
当$r = 2.4$时，$\odot O$与$AB$相切，与$AC$交于点$O$和一个点，与$BC$相离，此时$\odot O$与$\triangle ABC$的边有$2$个公共点；当$2.4\lt r\lt4$时，$\odot O$与$AB$相交，与$AC$交于点$O$和一个点，与$BC$相离，此时$\odot O$与$\triangle ABC$的边有$3$个公共点；当$r = 4$时，$\odot O$经过点$C$，与$AB$相交，此时$\odot O$与$\triangle ABC$的边有$3$个公共点；当$r\gt4$且$r\lt5$时，$\odot O$与$AB$相交，与$AC$交于点$A$、$O$和另一个点，与$BC$相交于一个点，此时$\odot O$与$\triangle ABC$的边有$4$个公共点；当$r = 5$时，$\odot O$经过点$B$，此时$\odot O$与$\triangle ABC$的边有$3$个公共点；当$r\gt5$时，$\odot O$与$\triangle ABC$的边有$3$个公共点。
所以当$r\gt2.4$时，$\odot O$与$\triangle ABC$的边不一定有$4$个公共点，③错误。
综上，①②正确，正确的个数是$2$个。
【答案】：C。

4. 已知⊙O的直径为6 cm,如果直线l上的一点C与圆心O的距离为3 cm,则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.

答案： 【解析】：
本题考查直线与圆的位置关系，具体涉及圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小比较来判断位置关系。
已知圆$O$的直径为$6cm$，根据半径是直径的一半，可得圆$O$的半径$r = \frac{6}{2}=3cm$。
又已知直线$l$上一点$C$与圆心$O$的距离为$3cm$，这里点$C$到圆心$O$的距离并不一定就是圆心$O$到直线$l$的距离$d$。
当$OC$垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d$就等于$OC$的长度，即$d = 3cm$，此时$d=r$，直线$l$与圆$O$相切；
当$OC$不垂直于直线$l$时，根据垂线段最短可知，圆心$O$到直线$l$的距离$d\lt OC$，即$d\lt 3cm$，此时$d\lt r$，直线$l$与圆$O$相交。
【答案】：
相切或相交

5. 以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆. 若直线y= -x+b与⊙O相交,则b的取值范围为$- 2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查直线与圆的位置关系。
首先，根据题意，圆的方程为$x^2 + y^2 = 4$，圆心为$O(0,0)$，半径为$r=2$。
对于直线$y = -x + b$，可以转化为标准形式$x + y - b = 0$。
利用点到直线的距离公式，圆心$O(0,0)$到直线$x + y - b = 0$的距离为
$d = \frac{|0 + 0 - b|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|b|}{\sqrt{2}}$
由于直线与圆相交，所以距离$d$必须小于半径$r$，即
$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$
解这个不等式，得到
$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$
【答案】：
$- 2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$

6. 已知∠MAN= 30°,O为边AN上一点,以O为圆心,2为半径作⊙O交AN于D,E两点,设AD= x.
(1)如图①,当x取何值时,⊙O与AM相切？
(2)如图②,当x取何值时,⊙O与AM相交于点B,C两点,且∠BOC的度数为90°？
]

答案：
(1)解：过点O作OF⊥AM于点F，
∵⊙O与AM相切，
∴OF=2，
∵∠MAN=30°，
∴AO=2OF=4，
∵AD=x，OD=2，
∴AO=AD+OD=x+2，
∴x+2=4，解得x=2。
(2)解：过点O作OG⊥AM于点G，
∵OB=OC=2，∠BOC=90°，
∴BC=√(2²+2²)=2√2，
∴BG=CG=√2，OG=√(OB²-BG²)=√(4-2)=√2，
∵∠MAN=30°，
∴AO=2OG=2√2，
∵AO=AD+OD=x+2，
∴x+2=2√2，解得x=2√2-2。